Algorithmes de calcul formel - Free

matrice B(λ i ) jusqu’à ce que l’on obtienne une matrice réduite en recopiantles opérations élémentaires de colonnes faites sur B(λ i ) sur toutes les matricesB (k) (λ i )/k!. On va continuer avec la liste des matrices réduites issues de B ′ (λ i ),..., B (n i−1) (λ i )/(n i − 1)!, mais en déplacant les colonnes non nulles de B(λ i )d’une matrice vers le bas (pour une colonne non nulle de la matrice réduite B(λ)les colonnes correspondantes de B (k) (λ i ) réduite sont remplacées par les colonnescorrespondantes de B (k−1) (λ i ) réduite pour k décroissant de n i − 1 vers 1). Àchaque étape, on obtient une famille (éventuellement vide) de cycles de Jordan, cesont les vecteurs colonnes correspondants aux colonnes non nulles de la matriceréduite du haut de la colonne. On élimine bien sûr les colonnes correspondant auxfins de cycles déjà trouvés.Par exemple, si B(λ i ) ≠ 0, son rang est 1 et on a une colonne non nulle,et un cycle de Jordan de longueur n i fait des n i vecteurs colonnes des matricesB (k) (λ i )/k! réduites. Plus généralement, on obtiendra plus qu’un cycle de Jordan(et dans ce cas B(λ i ) = 0).10.2.7 Exemple 1⎛A = ⎝3 −1 12 0 11 −1 2λ = 2 est valeur propre de multiplicité 2, on obtient :⎛ ⎞ ⎛−2 −1 1B(λ) = λ 2 I + λ ⎝ 2 −5 1 ⎠ + ⎝1 −1 −3⎞⎠1 1 −1−3 5 −1−2 2 2⎞⎠on applique l’algorithme de Horner :B(2) =B ′ (2) =⎛⎝⎛⎝1 −1 11 −1 10 0 02 −1 12 −1 11 −1 1⎞⎠ ,⎞⎠Comme B(2) ≠ 0, on pourrait arrêter les calculs en utilisant une colonne nonnulle et le cycle de Jordan associé (2, 2, 1) → (1, 1, 0) → (0, 0, 0). Expliquonstout de même l’algorithme général sur cet exemple. La réduction de B(2) s’obtienten effectuant les manipulations de colonnes C 2 + C 1 → C 2 et C 3 − C 1 → C 3 . Oneffectue les mêmes opérations sur B ′ (2) et on obtient :⎛⎝⎛⎝1 0 01 0 00 0 02 1 −12 1 −11 0 0⎞⎠,⎞⎠88