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8.7 Exercices (factorisation des polynômes)1. Déterminer le nombre de racines de −x 7 + x 4 + 12x − 5 comprises entre 0et 6 (en utilisant les suites de Sturm, on donnera les détails des calculs).2. Écrire un programme calculant la suite de Sturm d’un polynôme supposésquarefree (on peut tester avec sqrfree), en utilisant l’algorithme d’Euclide.3. Trouver les facteurs de degré 1 s’ils existent de 3x 5 +25x 4 +67x 3 +77x 2 +55x+13 en remontant ses racines dans Z/pZ[X] pour p premier bien choisi.4. Factoriser le polynôme x 5 + x + 1 par la méthode de Berlekamp.5. Calculer avec un logiciel les valeurs numériques des racines complexes deP(x) = x 5 + x + 1. Trouver les combinaisons de racines dont la somme estentière (aux arrondis près). En déduire la factorisation en facteurs irréductiblessur Z de P .6. Factorisation numérique sur C. Écrire un programme qui calcule une racined’un polynôme à coefficients complexes en utilisant une méthode itérativede type méthode de Newton (avec éventuellement un préfacteur lorsqu’ondébute la recherche). Les polynômes seront représentés par la liste de leurscoefficients et l’évaluation faite par la méthode de Horner. Trouver ensuitetoutes les racines du polynôme en éliminant la racine trouvée (toujours avecHorner). Trouver les combinaisons de racines correspondant à un facteur àcoefficients entiers.7. Même question pour les facteurs de degré 2 d’un polynôme à coefficientsréels sans racines réelles en utilisant la méthode de Bairstow décrite cidessous.On cherche un facteur F = x 2 + sx + p de P , on calcule le quotient et lereste de la division P = FQ + R par une méthode de type Horner, il s’agitde rendre R (vu comme un vecteur à 2 composantes) nul. On calcule donc∂ s,p R (en cherchant le quotient et le reste de xQ et Q par F , pourquoi ?) eton pose :(s, p) n+1 = (s, p) n − λ(∂ s,p R) −1 R(s, p) noù λ est un préfacteur compris entre 0 et 1 et ajusté à 1 lorsqu’on est prochedu facteur.8. Soit p un entier premier et P un polynôme à coefficients dans Z/pZ. On a larelation∏gcd(X pk − X, P) = f, f irréductiblef|P,deg(f)|kEn utilisant cette relation, déterminer les degrés des facteurs de(x 3 + x + 1)(x 4 + x + 1)modulo 5 et 7 (sans utiliser la commande factor). Peut-on en déduire quex 3 + x + 1 et x 4 + x + 1 sont irréductibles sur Z ?9. Utiliser les options “verbose” de votre logiciel de calcul formel pour factoriserx 202 + x 101 + 1 et vérifiez que vous avez compris la méthode utilisée.60
10. Montrer que 2x+x 2 y+x 3 +2x 4 +y 3 +x 5 est irréductible sur Z sans utiliserl’instruction factor à 2 variables (on pourra factoriser pour quelques valeursde x ou de y)11. Que se passe-t-il lorsqu’on exécute l’algorithme de Yun dans Z/nZ ?12. Déterminer les degrés des facteurs de (x 3 + x + 1)(x 4 + x + 1) modulo 5 et7 (sans utiliser la commande factor). Peut-on en déduire que x 3 + x + 1 etx 4 + x + 1 sont irréductibles sur Z ?13. Utiliser les options “verbose” de votre logiciel de calcul formel pour factoriserx 202 + x 101 + 1 et vérifiez que vous avez compris la méthode utilisée.14. Montrer que 2x+x 2 y+x 3 +2x 4 +y 3 +x 5 est irréductible sur Z sans utiliserdirectement l’instruction factor (on pourra factoriser pour quelques valeursde x ou de y)61
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