Algorithmes de calcul formel - Free

la partie fractionnaire ne font en effet intervenir que des coefficients dans le corpsK.9.3 L’algorithme de RischOn suppose dans la suite qu’on s’est ramené à une fraction rationnelle par rapportà une tour de variables (où on a effectué les simplifications évidentes ln ◦ exp,ainsi que exp ◦ ln, dans le premier cas en extrayant les facteurs évidents en lesvariables précédentes exponentielles, dans le deuxième cas en extrayant la partielinéaire à coefficient entier en les variables logarithmes précédentes). On note Xla variable au sommet de la tour et N 0 /D 0 l’écriture de la fonction élémentairecomme fraction irréductible avec N 0 et D 0 polynômes en X.Exemples∫(2x 2 + 1)e x2 X = e x2 N 0 = (2x 2 + 1)X, D 0 = 1∫xln(x)X = ln(x) N 0 = xX, D 0 = x + Xx + ln(x)La première étape va consister à se ramener à un dénominateur sans facteursmultiples. Elle est analogue au cas des fractions rationnelles de x et est basée surl’identité de Bézout entre P et P ′ vu comme polynômes en la variable du hautde la tour. Il apparait toutefois une difficulté pour les extensions exponentielles, àsavoir que X = e f et X ′ = f ′ X ne sont pas premiers entre eux comme polynômesen X, on devra traiter le pôle 0 d’une fraction rationnelle en une exponentielle Xcomme on traite l’intégration d’un polynôme en x. Si P est sans facteurs multipleset premier avec X, alors P(X) et P(X) ′ = f ′ XP ′ (X) vu comme polynômes enX n’ont pas de facteurs en commun.On commence donc, si X est une exponentielle et D 0 un multiple de X, parappliquer Bézout pour décomposer la fraction N 0 /D 0 en :N 0D 0= N 1D 1+ P X k , gcd(X, D 1) = 1, D 0 = X k D 1On isole aussi la partie polynômiale en effectuant la division euclidienne de N 0 parD 0 (ou de N 1 par D 1 si X est une exponentielle), on obtient alors une écriture sousla forme :ND + ∑ a j X jjoù la somme sur j est finie et porte sur des entiers positifs ou nul si X n’est pasune exponentielle, ou sur des entiers relatifs si X est une exponentielle.On effectue la même écriture sur la partie fractionnaire de F , et en identifiantles parties polynomiales et éventuellement la partie polaire en 0 si X est uneexponentielle, on peut séparer l’intégration en 2 parties : intégration de la partiepolynomiale (généralisée) et intégration de la partie fractionnaire propre.Exemples– (2x 2 + 1)e x2 = 0 + (2x 2 + 1)X est un polynôme,70