Algorithmes de calcul formel - Free

on a montré que :⎧A 1 = A, p 1 = −tr(A), B 1 = A 1 + p 1 I⎪⎨ A 2 = AB 1 , p 2 = − 1 2 tr(A 2), B 2 = A 2 + p 2 I⎪⎩...A k = AB k−1 , p k = − 1 k tr(A k), B k = A k + p k IOn peut alors vérifier que B n = A n +p n I = 0. D’où ce petit programme à utiliseravec xcas en mode mupad (maple_mode(2);), ou avec MuPAD, ou à adapteravec un autre système :iequalj:=(j,k)->if j=k then return(1); else return(0); end_if;faddeev:=proc(A) // renvoie la liste des matrices B et le polynome Plocal Aj,AAj,Id,coef,n,pcara,lmat;beginn:=ncols(A);Id:=matrix(n,n,iequalj); // matrice identiteAj:=Id;lmat:=[];// B initialise a liste videpcara:=[1];// coefficient de plus grand degre de Pfor j from 1 to n dolmat:=append(lmat,Aj); // rajoute Aj a la liste de matricesAAj:=Aj*A;coef:=-trace(AAj)/j; // mupad linalg::trpcara:=append(pcara,coef); // rajoute coef au polynome caracteristiqueAj:=AAj+coef*Id;end_for;lmat,pcara;// resultatend_proc;10.2.5 Les vecteurs propres simples.On suppose ici qu’on peut factoriser le polynôme caractéristique (ou calculerdans une extension algébrique d’un corps). Lorsqu’on a une valeur propre simpleλ 0 , en écrivant la relation (A−λ 0 I)B(λ 0 ) = P(λ 0 )I = 0, on voit que les vecteurscolonnes de la matrice B(λ 0 ) sont vecteurs propres. Remarquer que B(λ 0 ) ≠ 0sinon on pourrait factoriser λ − λ 0 dans B(λ) et apre`s simplifications on aurait :B(A − λ 0 I) (λ 0 ) =λ − λ 0Pλ − λ 0(λ 0 )Ior le 2ème membre est inversible en λ 0 ce qui n’est pas le cas du premier. Pouravoir une base des vecteurs propres associés à λ 0 , on calcule B(λ 0 ) par la méthodede Horner appliquée au polynôme B(λ) en λ = λ 0 , et on réduit en colonnes lamatrice obtenue.10.2.6 La forme normale de JordanPour les valeurs propres de multiplicité plus grande que 1, on souhaiterait généraliserla méthode ci-dessus pour obtenir une base de l’espace caractéristique,86