Algorithmes de calcul formel - Free

sous forme de cycles de Jordan. Soit λ i , n i les valeurs propres comptées avec leurmultiplicité. On fait un développement de Taylor en λ i :()−P(λ)I = (A − λI) B(λ i ) + B ′ (λ i )(λ − λ i ) + ... + B(n−1) (λ i )(λ − λ i ) n−1(n − 1)!∏= −(λ − λ i ) n i(λ − λ j ) n jIj≠iComme A−λI = A−λ i I −(λ−λ i )I, on obtient pour les n i premières puissancesde λ − λ i :(A − λ i I) B(n i) (λ i )n i !(A − λ i I)B(λ i ) = 0 (25)(A − λ i I)B ′ (λ i ) = B(λ i ) (26)(A − λ i I) B(n i−1) (λ i )(n i − 1)!− B(n i−1) (λ i )(n i − 1)!... (27)= B(n i−2) (λ i )(n i − 2)!(28)= − ∏ j≠i(λ i − λ j ) n jI (29)Le calcul des matrices B (n) (λ i )/n! pour n < n i se fait en appliquant n i foisl’algorithme de Horner (avec reste).Théorème 9 L’espace caractéristique de λ i est égal à l’image de B (n i−1) (λ i )/(n i −1)!.Preuve :On montre d’abord que ImB (ni−1) (λ i )/(n i −1)! est inclus dans l’espace caractéristiquecorrespondant à λ i en appliquant l’équation (28) et les équations précédentes.Réciproquement on veut prouver que tout vecteur caractéristique v est dans l’imagede B (ni−1) (λ i )/(n i − 1)!. Prouvons le par récurrence sur le plus petit entier m telque (A − λ i ) m v = 0. Le cas m = 0 est clair puisque v = 0. Supposons le casm vrai, prouvons le cas m + 1. On applique l’équation (29) à v, il suffit alors deprouver quew = (A − λ i ) B(ni) (λ i )vn i !appartient à l’image de B (n i−1) (λ i )/(n i −1)!. Comme B (n i) (λ i ) commute avec A(car c’est un polynôme en A ou en appliquant le fait que B(λ) inverse de A −λI) :(A − λ i ) m w = B(ni) (λ i )(A − λ i ) m+1 v = 0n i !et on applique l’hypothèse de récurrence à w.Pour calculer les cycles de Jordan, nous allons effectuer une réduction parle pivot de Gauß simultanément sur les colonnes des matrices B (k) (λ i )/k! oùk < n i . La simultanéité a pour but de conserver les relations (25) à (28) pourles matrices réduites. Pour visualiser l’algorithme, on se représente les matricesles unes au-dessus des autres, colonnes alignées. On commence par réduire la87