Algorithmes de calcul formel - Free

des racines z j de P k et à un même contenu c (puisqu’il y a un nombre fini de combinaisonspossibles des racines en facteur et un nombre fini de diviseurs possiblesdu contenu de P k ). Pour z ∈ Z, on a :f j (X 1 , ..., X n , z) = cΠ l∈R (z − z j ), f j ∈ Z[X 1 , ..., X n−1 ]Soit L(X) le polynôme obtenu par interpolation de Lagrange en cardinal(R) + 1points z de Z, égal à f j en X = z. Pour des raisons de degré, on a :L = cΠ l∈R (X − z j )donc L est un facteur de P . De plus L est un polynôme en X 1 , ..., X n−1 , X à coefficientsrationnels (par construction). Ceci vient en contradiction avec l’hypothèseP k irréductible, car on a construit un facteur de P k à coefficients rationnels L dedegré strictement inférieur.CorollairePour z assez grand, la reconstruction z-adique de c(z)p j (z) est un polynôme dontla partie primitive est un facteur irréductible de P .Preuve du corollaireOn prend z assez grand pour que tous les facteurs irréductibles de P évalués enz aient un seul facteur polynomial (i.e. soient de la forme d(z)p j (z)). Quitte àaugmenter z, on peut supposer que |z| > 2CL où C est la majoration de |c(z)| etL est la borne de Landau sur les facteurs de P . Alors la reconstruction z-adique dec(z)p j (z) est c(z)/d(z)P j , donc sa partie primitive est un facteur irréductible deP .Algorithme de factorisation heuristique à plusieurs variablesArgument : un polynôme P primitif en au moins 2 variables.Valeur renvoyée : les facteurs irréductibles de PChoisir la variable X par rapport à laquelle P est de plus bas degré puis factoriserle contenu de P vu comme polynôme à coefficients dans Z[X]. Initialiser un entierz à 2|P | + 2 (où |P | est le plus grand coefficient entier de P en valeur absolue) etune liste L à la factorisation de du contenu de P .Boucle indéfinie :– Si P = 1 renvoyer la liste L des facteurs de P .– Tant que pgcd(P(z), P ′ (z)) = 0 incrémenter z de 1.– Factoriser P(z) = c(z)Πp j– Pour tous les facteurs p j , déterminer le polynôme P j tel que c(z)p j = P j (z)par remontée z-adique (avec les coefficients de P j écrit en représentationsymétrique, de valeur absolue plus petite que |z|/2). Tester si la partie primitivede P j divise P . Si oui, rajouter un facteur irréductible à la liste L, etdiviser P par ce facteur.– Augmenter z, par exemple remplacer z par la partie entière de √ 2z.8.4 Preuve de l’identité de Bézout généraliséeElle se fait par récurrence. Pour n = 2, c’est l’identité de Bézout usuelle. Pourpasser du rang n − 1 au rang n, on isole P n dans l’identité à résoudre :⎛⎞n−1∑⎝ Q j (Π 1≤k≤n−1,k≠j P k ) ⎠ P n + Q n Π k≤n−1 P k = Q (mod p)j=158