Algorithmes de calcul formel - Free

10.7 L’algorithme du simplexe11 InterpolationÉtant donné la facilité de manipulation qu’apportent les polynomes, on peutchercher à approcher une fonction par un polynôme. De plus l’interpolation est unoutil très utilisé pour calculer des polynômes en calcul formel.11.1 LagrangeLa méthode la plus naturelle consiste à chercher un polynôme de degré le pluspetit possible égal à la fonction en certains points x 0 , ..., x n et à trouver une majorationde la différence entre la fonction et le polynôme. Le polynome interpolateurde Lagrange répond à cette question.Soit donc x 0 , ..., x n des réels distincts et y 0 , ..., y n les valeurs de la fonction àapprocher en ces points (on posera y j = f(x j ) pour approcher la fonction f). Oncherche donc P tel que P(x j ) = y i pour j ∈ [0, n].Commencons par voir s’il y a beaucoup de solutions. Soit P et Q deux solutionsdistinctes du problème, alors P − Q est non nul et va s’annuler en x 0 , ..., x ndonc possède n + 1 racines donc est de degré n + 1 au moins. Réciproquement,si on ajoute à P un multiple du polynome A = ∏ nj=0 (X − x j), on obtient uneautre solution. Toutes les solutions se déduisent donc d’une solution particulière eny ajoutant un polynome de degré au moins n + 1 multiple de A.Nous allons maintenant construire une solution particulière de degré au plusn. Si n = 0, on prend P = x 0 constant. On procède ensuite par récurrence. Pourconstruire le polynôme correspondant à x 0 , ..., x n+1 on part du polynoôme P n correspondantà x 0 , ..., x n et on lui ajoute un multiple réel de AP n+1 = P n + an∏(X − x j )Ainsi on a toujours P n+1 (x j ) = y j pour j = 0, ..n, on calcule maintenant a pourque P n+1 (x n+1 ) = y n+1 . En remplacant avec l’expression de P n+1 ci-dessus, onobtientn∏P n (x n+1 ) + a (x n+1 − x j ) = y n+1j=0j=0Comme tous les x j sont distincts, il existe une solution unique a :a = y n+1 − P n (x n+1 )∏ nj=0 (x n+1 − x j )On a donc prouvé le :Théorème 10 Soit n + 1 réels distincts x 0 , ..., x n et n + 1 réels quelconquesy 0 , ..., y n . Il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n, appelépolynome de Lagrange, tel que :P(x i ) = y i99