Algorithmes de calcul formel - Free

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4 Le PGCDComme on l’a remarqué dans le premier article, l’algorithme d’Euclide est inefficacepour calculer le pgcd de deux polynômes à coefficients entiers. On va présenterici les algorithmes utilisés habituellement par les systèmes de calcul formel :sous-résultant (PRS), modulaire (GCDMOD), p-adique (EEZGD) et heuristique(GCDHEU). Le premier est une adaptation de l’algorithme d’Euclide et s’adapte àdes coefficients assez génériques. Les trois autres ont en commun d’évaluer une ouplusieurs variables du polynôme (dans ce dernier cas il est nécessaire de bien distinguerle cas de polynômes à plusieurs variables) et de reconstruire le pgcd par destechniques distinctes, la plupart du temps ces algorithmes fonctionnent seulementsi les coefficients sont entiers.Soit donc P et Q deux polynômes à coefficients dans un corps. Le pgcd deP et Q n’est défini qu’à une constante près. Mais lorsque les coefficients de Pet Q sont dans un anneau euclidien comme par exemple Z ou Z[i], on appellepgcd de P et Q un polynôme D tel que P/D et Q/D soient encore à coefficientsdans l’anneau, et que D soit optimal, c’est-à-dire que si un multiple µD de Dvérifie P/µD et Q/µD sont à coefficients dans l’anneau, alors µ est inversible.La première étape d’un algorithme de calcul de pgcd consiste donc à diviser par lepgcd des coefficients entiers de chaque polynôme.Exemple : P = 4X 2 − 4 et Q = 6X 2 + 12X + 6. Le polynôme X + 1 estun pgcd de P et Q puisqu’il est de degré maximal divisant P et Q mais le pgcd deP et Q est 2(X + 1). Remarquons qu’avec notre définition −2(X + 1) convientaussi. Par convention on appelera pgcd le polynôme ayant un coefficient dominantpositif.Définition : On appelle contenu c(P) d’un polynôme P le pgcd des coefficientsde P . On définit alors la partie primitive de P : pp(P) = P/c(P). Si c(P) = 1, ondit que P est primitif. On montre que :D = pgcd(P, Q) = pgcd(c(P), c(Q))pgcd(pp(P), pp(Q))4.1 Le sous-résultant.La première idée qui vient à l’esprit pour améliorer l’efficacité de l’algorithmed’Euclide consiste à éviter les fractions qui sont créées par les divisions euclidiennes.On utilise à cet effet la pseudo-division : au lieu de prendre le reste R dela division euclidienne du polynôme P par Q, on prend le reste de la division dePq δ+1 par Q, où q désigne le coefficient dominant de Q et δ la différence entre ledegré de P et de Q.Exercice : En utilisant votre système de calcul formel préféré, calculez lesrestes intermédiaires générés dans l’algorithme d’Euclide lorsqu’on utilise la pseudodivisionpar exemple pour les polynômes P(x) = (x+1) 7 −(x−1) 6 et sa dérivée.Une solution avec giac/xcas :// -*- mode:C++ -*- a,b 2 polynomes -> pgcd de a et bpgcd(a,b):={local P,p,Q,q,R,g,h,d;// convertit a et b en polynomes listes et extrait la partie primitiveP:=symb2poly1(a);18
p:=lgcd(P); // pgcd des elements de la listeP:=P/p;Q:=symb2poly1(b);q:=lgcd(Q);Q:=Q/q;if (size(P)
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10.7 L’algorithme du simplexe11 I
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définit de manière récursive les
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