Algorithmes de calcul formel - Free

10.2.3 La méthode de HessenbergPour les matrices à coefficients de taille bornée (modulaires par exemple) onpréfère la méthode de Hessenberg qui est plus efficace, car elle nécessite de l’ordrede n 3 opérations sur les coefficients.On se raméne d’abord à une matrice triangulaire supérieure à une diagonaleprès qui est semblable à la matrice de départ puis on applique une formule derécurrence pour calculer les coefficients du polynôme caractéristique.Algorithme de réduction de Hessenberg :Dans une colonne m donnée de la matrice H, on cherche à partir de la ligne m+1un coefficient non nul. S’il n’y en a pas on passe à la colonne suivante. S’il y en aun en ligne i, on échange les lignes m + 1 et i et les colonnes m + 1 et i. Ensuitepour tout i ≥ m + 2, soit u = H i,m /H m+1,m , on remplace alors la ligne L i de Hpar L i −uL m+1 et la colonne C m+1 par C m+1 +uC i ce qui revient “à remplacer levecteur e m+1 ( de la base par ) le vecteur e m+1 +ue i ” ou plus précisément ( ) à multiplier1 01 0à gauche paret à droite par la matrice inverse (en utilisant−u 1u 1les lignes et colonnes m + 1 et i au lieu de 1 et 2 pour ces matrices). Ceci a poureffet d’annuler le coefficient H i,m dans la nouvelle matrice.On obtient ainsi en O(n 3 ) opérations une matrice H ′ semblable à H de laforme : ⎛H 1,1 ′ H 1,2 ′ ... H 1,n−2 ′ H 1,n−1 ′ H ′ ⎞1,nH 2,1 ′ H 2,2 ′ ... H 2,n−2 ′ H 2,n−1 ′ H ′ 2,n0 H 3,2 ′ ... H 3,n−2 ′ H 3,n−1 ′ H ′ 3,n0 0 ... H 4,n−2 ′ H 4,n−1 ′ H 4,n′ ⎜⎟⎝ . . ... . . . ⎠0 0 ... 0 H n,n−1 ′ H n,n′On calcule alors le polynôme caractéristique de H ′ par une récurrence qui s’obtienten développant le déterminant par rapport à la dernière colonne :h n (λ) = det(λI n − H) = (λ − H ′ n,n)h n−1 (λ) − (−H ′ n−1,n)(−H ′ n,n−1)h n−2 (λ) ++(−H ′ n−2,n)(−H ′ n,n−1)(−H ′ n−1,n−2)h n−3 (λ) − ...où les h i s’entendent en gardant les i premières lignes/colonnes de H ′ . On peutécrire cette formule pour m ≤ n :m−1∑h m (λ) = (λ − H m,m)h ′ m−1 (λ) −H m−i,m′i=1 j=1∏i−1H m−j+1,m−jh ′ i−1 (λ)Pour effectuer cette récurrence de manière efficace, on conserve les h m (λ) dans untableau de polynômes et on utilise une variable produit contenant successivementles ∏ H ′ m−j+1,m−j .10.2.4 La méthode de Leverrier-Faddeev-SouriauCette méthode permet le calcul simultané des coefficients p i (i = 0..n) du polynômecaractéristique P(λ) = det(λI − A) et des coefficients matriciels B i (i =84