Algorithmes de calcul formel - Free

et lcoeff X1 (P 0 + P 1 ) + O(2) = lcoeff X1 (Q 0 + Q 1 ) + O(2) = lcoeff X1 (F). Ontronque ensuite P 1 et Q 1 en ne conservant que les termes de degré 1 par rapport àX 2 , . . .., X n .On trouve de la même manière par récurrence P k et Q k homogènes de degré kpar rapport à X 2 , . . .., X k , de degré par rapport à X 1 respectivement inférieur auxdegrés de Q 0 et de P 0 et tels queF lcoeff(F) = (P 0 + . . .. + P k )(Q 0 + . . .. + Q k ) + O(k + 1) (6)et lcoeff(F) = lcoeff X1 (P 0 + . . . . + P k ) + O(k + 1) = lcoeff X1 (Q 0 + . . .. +Q k ) + O(k + 1).Si on est bien en un point de bonne évaluation et si k est plus grand que ledegré total (par rapport aux variables X 2 , . . .., X n ) du polynôme F lcoeff(F) onva vérifier que P 0 + . . .. + P k = D lcoeff(F) . En effet, si on a deux suites delcoeff(D)polynômes P et P ′ et Q et Q ′ satisfaisant (6) avec les même termes de degré zéroP 0 et Q 0 , alors en prenant la différence, on obtient :(P 0 +P 1 . . .+P k )(Q 0 +Q 1 . . .+Q k ) = (P 0 +P ′ 1 . . .+P ′ k )(Q 0+Q ′ 1 . . .+Q ′ k )+O(k+1)On égale alors les termes homogènes de degré j, pour j = 1, on obtient P 0 (Q 1 −Q ′ 1 ) = Q 0(P 1 −P 1 ′), donc Q 0 divise Q 1 −Q ′ 1 qui est de degré strictement inférieurau degré de Q 0 par rapport à X 1 (car on a l’inégalité large et les termes de plus hautdegré sont égaux), donc Q 1 = Q ′ 1 et P 1 = P 1 ′ . On montre de la même manière queQ j = Q ′ j et P j = P j ′ . L’écriture est donc unique, c’est donc l’écriture en polynômehomogène de degré croissant de D lcoeff(F) que l’on reconstruit.lcoeff(D)Cet algorithme permet donc de reconstruire D, il suffit de tester à chaqueétape si P 0 + . . .. + P k divise F lcoeff(F). On appelle cette méthode de remontéelemme de Hensel linéaire. Il existe une variante dite lemme de Hensel quadratiquequi consiste à passer de O(k) à O(2k). Elle nécessite toutefois un calculsupplémentaire, celui de l’identité de Bézout à O(2k) près pour les polynômesP 0 + . . .. + P k−1 et Q 0 + . . .. + Q k−1 . Ce calcul se fait également par lifting.Algorithme EZGCD (Hensel linéaire)Arguments : 2 polynômes F et G à coefficients entiers et primitifs. Renvoie lepgcd de F et G ou false.1. Evaluer F et G en (X 2 , . . .., X n ) = (0, . . ..,0), vérifier que les coefficientsdominants de F et de G ne s’annulent pas. Calculer le pgcd D b de F(0) etde G(0). Prendre un autre point d’évaluation au hasard qui n’annule pas lescoefficients dominants de F et de G et vérifier que le pgcd a le même degréque D b . Sinon, renvoyer false (on peut aussi faire une translation d’origine deF et de G en un autre point mais cela diminue l’efficacité de l’algorithme).2. On note lcF et lcG les coefficients dominants de F et de G par rapport à X 1 .3. Si degre(F) degre(G) et degre(D b ) = degre(G) et F divise G renvoyerF4. Si degre(G) < degre(F) et degre(D b ) = degre(F) et G divise F renvoyerG5. Si degre(F) = degre(D b ) ou si degre(G) = degre(D b ) renvoyer false33