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6 Les suites de Sturm 387 Exercices (PGCD, résultant, ...) 397.1 Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1.1 Entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.1.3 Calculs modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Exercices PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 Exercices (résultant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.4 Exercice (Bézout modulaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.5 Exercice (Géométrie et résultants). . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 Factorisation 448.1 Les facteurs multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2 Factorisation en une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2.1 Factorisation dans Z/pZ[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 478.2.2 Distinct degree factorization . . . . . . . . . . . . . . . . 478.2.3 La méthode de Cantor-Zassenhaus . . . . . . . . . . . . . 498.2.4 La méthode de Berlekamp . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.2.5 Remontée (Hensel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2.6 Combinaison de facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3 Factorisation à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.4 Preuve de l’identité de Bézout généralisée . . . . . . . . . . . . . 588.5 Algorithme de Bézout généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.6 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.7 Exercices (factorisation des polynômes) . . . . . . . . . . . . . . 609 Intégration 629.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.2 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.2.1 Extensions transcendantes, tour de variables . . . . . . . . 629.2.2 Théorème de structure de Risch . . . . . . . . . . . . . . 639.2.3 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.3 L’algorithme de Risch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.3.1 Intégration d’une fraction propre . . . . . . . . . . . . . . 719.3.2 Réduction sans facteurs multiples . . . . . . . . . . . . . 719.3.3 La partie logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.3.4 La partie polynomiale (généralisée) . . . . . . . . . . . . 739.3.5 Extension logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.3.6 Extension exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.4 Quelques références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910 Algèbre linéaire 7910.1 Résolution de systèmes, calcul de déterminant. . . . . . . . . . . 7910.1.1 La méthode du pivot de Gauß. . . . . . . . . . . . . . . . 7910.1.2 Le déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.1.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.1.4 Base du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.2 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
10.2.1 Le polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.2.2 Le polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.2.3 La méthode de Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.2.4 La méthode de Leverrier-Faddeev-Souriau . . . . . . . . . 8410.2.5 Les vecteurs propres simples. . . . . . . . . . . . . . . . 8610.2.6 La forme normale de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.2.7 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8810.2.8 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.2.9 Le polynôme minimal par Faddeev . . . . . . . . . . . . 9010.2.10 Formes normales rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 9010.2.11 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.3 Quelques autres algorithmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.4 Quelques références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.5 Bézout et les p-adiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.6 Exercices (algèbre linéaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.6.1 Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.6.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.7 L’algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911 Interpolation 9911.1 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911.2 Différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10011.3 Les splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013
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- On détermine P −Π j P j (mod
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On peut aussi observer que b 1 = b,
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Comme P n est premier avec Π k≤n
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10. Montrer que 2x+x 2 y+x 3 +2x 4
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où les f i sont soit l’exponenti
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apport aux variables de la tour tel
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On élimine alors la variable X k
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--xln(x)x + ln(x) = xXx + X = −x2
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-(2x 2 − x − 2)X − 1X 2 + (x
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la valuation de y ′ est α − 1,
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trouver n tel que l’exponentielle
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9.4 Quelques références- M. Brons
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de la matrice initiale M par (R i,i
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matrice obtenue en écrivant les ve
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0..n − 1) du polynôme en λ donn
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sous forme de cycles de Jordan. Soi
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L’étape suivante consiste à dé
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simultanée sur les colonnes des C
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finalement :Q(A)v j,0 =d∑l=1inf(l
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où les r k sont les restes success
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10.6 Exercices (algèbre linéaire)
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10.7 L’algorithme du simplexe11 I
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définit de manière récursive les
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