Algorithmes de calcul formel - Free

(les inconnues étant par ordre décroissant les coefficients de U et V )⎛⎞a a a a−1 . . . . . . a 0 0 . . . 00 a a . . . . . . a 1 a 0 . . . 0..M(A, B) =0 0 . . . a 0b b b b−1 . . . b 0 0 0 . . . 0⎜⎟⎝ .. ⎠0 0 . . . b 0(cette matrice contient b =degré(B) lignes de coefficients du polynôme A et a =degré(A)lignes de coefficients du polynôme B)Lien avec l’algorithme du sous-résultant (calcul de PGCD)On peut calculer le déterminant avec la suite des restes de divisions euclidiennesde la manière suivante, on part de la pseudo-division de A par B :b a−b+1bA = BQ + Ron effectue alors sur chaque ligne contenant les coefficients de A la manipulationde ligne correspondante, c’est-à-dire multiplier la ligne par b a−b+1bet soustraire (q 0fois la ligne de B terminant dans la même colonne+q 1 fois la ligne de B terminantune colonne avant+...). Toutes les lignes contenant les coefficients de A ont étéremplacées par des lignes contenant les coefficients de R. Ces lignes contiennentk zéros initiaux avec k ≥ 1, ce qui permet de réduire le déterminant à celui de lamatrice de Sylvester de R et B (à un coefficient multiplicatif près qui vaut b k b parrapport au précédent donc b k−b(a−b+1)bpar rapport au déterminant de départ). Onéchange ensuite R et B ce qui change éventuellement le signe et on continue enfaisant les divisions euclidiennes de l’algorithme du sous-résultant (cf. Knuth où onutilise la matrice de Sylvester pour prouver que l’algorithme du sous-résultant estcorrect). Rappelons que le sous-résultant définit les suites A k (A 0 = A, A 1 = B),d k le degré de A k , δ k = d k − d k+1 , g k (g 0 = 1, si k ≠ 0, g k coefficient dominantde A k ) h k (h 0 = 1, h k+1 = h 1−δ kkg δ kk+1 ) etg δ k−1+1kA k−1 = A k Q k+1 + g k−1 h δ k−1k−1 A k+1Théorème 3 Le résultant est égal au signe près au coefficient h k où k correspondau reste A k constant (en supposant que le résultant soit non nul).PreuveLa transcription de l’égalité précédente sur les résultants donne par la méthodeci-dessus :g (δ k−1+1)d kkRes(A k−1 , A k ) = g d k−1−d k+1kRes(g k−1 h δ k−1k−1 A k+1, A k )On en déduit que :Res(A k−1 , A k )g d kk−1 hd k−1−1k−1= g d k−1−d k+1k(g k−1 h δ k−1k−1 )d kRes(A k+1 , A k )= g d k−1−d k+1 −(δ k−1 +1)d kkh δ k−1d k +1−d k−1k−1Res(A k+1 , A k )37