Algorithmes de calcul formel - Free

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donc∆(α)G/lcoeff(G) = D ′ (X 1 , . . .., X n−1 , α)Algorithme du pgcd modulaire à plusieurs variables (interpolation dense) :Arguments : 2 polynômes primitifs P et Q de n variables X 1 , . . .., X n à coefficientsentiers. Renvoie le pgcd de P et Q.1. Si n = 1, renvoyer le pgcd de P et Q en une variable.2. Test rapide de pgcd trivial par rapport à X n . On cherche des n − 1-uplets αtels que P(α, X n ) et Q(α, X n ) soient de même degré que P et Q par rapportà la variable X n . On calcule le pgcd G de ces 2 polynômes en une variable.Si le pgcd est constant, alors on retourne le pgcd des coefficients de P et Q.3. On divise P et Q par leur contenu respectifs vu comme polynômes en X 1 , . . .., X n−1à coefficients dans Z[X n ], on note C(X n ) le pgcd des contenus. On calculeaussi le pgcd ∆(X n ) des coefficients dominants de P et de Q.4. On initialise D ′ le pgcd reconstruit à 0, I(X n ) le polynôme d’interpolationà 1, δ = (δ 1 , ..., δ n−1 ) la liste des degrés partiels du pgcd par rapport àX 1 , . . .., X n−1 au minimum des degrés partiels de P et Q par rapport àX 1 , . . .., X n−1 , e le nombre d’évaluation à 0 et E l’ensemble des pointsd’interpolation à la liste vide.5. Boucle infinie :– Faire α=entier aléatoire n’appartenant pas à E jusqu’à ce quedegre(P(X 1 , . . .., X n−1 , α))=degre Xn(P(X 1 , . . .., X n )degre(Q(X 1 , . . .., X n−1 , α)) = degre Xn(Q(X 1 , . . .., X n ))– Calculer le pgcd G(X 1 , . . .., X n−1 ) en n−1 variables de P(X 1 , . . .., X n−1 , α)et Q(X 1 , . . .., X n−1 , α).– Si degre(G) i < δ i pour un indice au moins. Si degre(G) δ, on poseδ = degre(G), D ′ = G ∆(α) , I = X lcoeff(G)n − α, e = 1 et E = [α], sinonon pose δ = min(δ, degre(G)), D ′ = 0, I = 1, e = 0, E = []. On passe àl’itération suivante.– Si degre(G) > δ, on passe à l’itération suivante.– Si degre(G) = δ, on interpole :– G := G ∆(α)lcoeff(G)– D ′ := D ′ I(X+ n)Qα j ∈E (α−α j) (G − D′ (X 1 , . . .., X n−1 , α))– I := I ∗ (X n − α)– e := e + 1 et ajouter α à E– Si e est strictement plus grand que le minimum des degrés partiels de Pet Q par rapport à X n , on pose ˜D la partie primitive de D ′ (vu commepolynôme à coefficients dans Z[X n ]), on teste si P et Q sont divisiblespar ˜D, si c’est le cas, on renvoie D = C(X n ) ˜DOn observe que dans cet algorithme, on fait le test de divisibilite de ˜D par P etQ. En effet, même après avoir évalué en suffisamment de points, rien n’indiqueque tous ces points sont des points de bonne évaluation. En pratique cela resteextrêmement improbable. En pratique, on teste la divisibilité plus tôt, dès que D ′n’est pas modifié par l’ajout d’un nouveau point à la liste des α j .30
Il existe une variation de cet algorithme, appelé SPMOD (sparse modular), quisuppose que seuls les coefficients non nuls du pgcd en n − 1 variables sont encorenon nuls en n variables (ce qui a de fortes chances d’être le cas). L’étape d’interpolationest alors remplacée par la résolution d’un sous-système d’un système deVandermonde. Cette variation est intéressante si le nombre de coefficients non nulsen n − 1 variables est petit devant le degré. Si elle échoue, on revient à l’interpolationdense.Notons enfin qu’on peut appliquer cette méthode lorsque les coefficients deP et Q sont dans Z/nZ mais il faut alors vérifier qu’on dispose de suffisammentde points d’interpolation. Ce qui en combinant avec l’algorithme modulaire à unevariable donne un algorithme doublement modulaire pour calculer le pgcd de 2 polynômesà coefficients entiers. C’est cette méthode qu’utilise par exemple MuPAD(en essayant d’abord SPMOD puis l’interpolation dense).Exemple :Dans cet exemple, on donne F et G sous forme factorisée, le but étant de fairecomprendre l’algorithme. En utilisation normale, on n’exécuterait cet algorithmeque si F et G étaient développés.P = ((x+1)y +x 2 +1)(y 2 +xy+1), Q = ((x+1)y +x 2 +1)(y 2 −xy −1).Prenons x comme variable X 1 et y comme variable X 2 . Les coefficients dominantsde P et Q sont respectivement y et −y donc ∆ = y.En y = 0, P(x,0) = x 2 + 1 n’est pas du bon degré.En y = 1, P(x,1) = (x+x 2 +2)(x+2) et Q(x,1) = (x+x 2 +2)(−x) sontdu bon degré. Leur pgcd est G = x 2 + x + 2, ∆(1) = 1, donc D ′ = x 2 + x + 1.On teste la divisibilité de P par D ′ , le teste échoue.En y = 2, P(x,2) = (x 2 +2x+3)(2x+5) et Q(x,2) = (x 2 +2x+3)(−2x+3)donc G = x 2 + 2x + 3, ∆(2) = 2. On interpole :D ′ = x 2 +x+2+ y − 12 − 1 (2(x2 +2x+3)−(x 2 +x+2)) = y(x 2 +3x+4)−(2x+2)On teste la divisibilité de P par D ′ , le test échoue.En y = 3, P(x,3) = (x 2 +3x+4)(3x+10) et Q(x,3) = (x 2 +3x+4)(−3x+8) donc G = x 2 + 3x + 4, ∆(3) = 3. On interpole :doncD ′ = y(x 2 + 3x + 4) − (2x + 2) +(y − 2)(y − 1) (3(x 2 + 3x + 4) − (3(x 2 + 3x + 4) − (2x + 2)) )(3 − 2)(3 − 1)D ′ = y(x 2 +3x+4)−(2x+2)+(y − 2)(y − 1)(−2x−2) = x 2 y+xy 2 +y 2 +y2On divise D ′ par son contenu et on trouve x 2 + xy + y + 1 qui est bien le pgcd deP et Q.4.3.3 EZGCD.Il s’agit d’une méthode p-adique. On évalue toutes les variables sauf une,on calcule le pgcd en une variable et on remonte au pgcd variable par variable31
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de la matrice initiale M par (R i,i
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matrice obtenue en écrivant les ve
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0..n − 1) du polynôme en λ donn
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sous forme de cycles de Jordan. Soi
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L’étape suivante consiste à dé
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simultanée sur les colonnes des C
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finalement :Q(A)v j,0 =d∑l=1inf(l
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où les r k sont les restes success
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10.6 Exercices (algèbre linéaire)
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10.7 L’algorithme du simplexe11 I
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définit de manière récursive les
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