Algorithmes de calcul formel - Free

apport aux variables de la tour tels que I l divise une fois g l mais ne divise pas lesg k précédents. Soit h = ∏ j∈Z P j jla factorisation sans facteurs multiples de h. Ondérive alors ln(h) ce qui donne :∑x l g l ′ /g l = ∑ jP j/P ′ jjloù ∏ j P j j est la décomposition sans facteurs multiples de h. Comme I l divise unet un seul des P j on en déduit que x l est égal au j correspondant et est doncentier. (Remarque : si on n’impose pas aux arguments des logarithmes d’être despolynômes sans facteurs carrés, on obtiendrait ici des coefficients rationnels).En pratique :On peut effecter l’algorithme de la manière suivante :– on cherche les variables généralisées de l’expression qui dépendent de x.– On ajoute les variables généralisées en commençant par la moins longue– Si c’est un logarithme, on extrait les puissances des exponentielles précédentesdont il dépend. On cherche des relations entre fonctions ln en les réécrivantcomme combinaison linéaire de ln indépendants. Pour avoir des lnindépendants, on se ramène d’abord à des polynômes sans facteurs multiplesen utilisant la relation ln(a/b) = ln(a) − ln(b) et en écrivant la factorisationsans facteurs multiples de chaque polynôme argument, puis on extraitle PGCD 2 à 2 des arguments de logarithmes jusqu’à obtenir des argumentsde ln premiers entre eux.– Si c’est une exponentielle, on teste si son argument est combinaison linéaireà coefficients rationnels :– des arguments des exponentielles précédentes,– des ln des logarithmes précédents,– de ln(x) et de i ∗ π.Pour cela on substitue les ln par des indéterminées, et on dérive une foispar rapport à cette indéterminée, le résultat doit être un rationnel, pour lesvariables exponentielles, il faut réduire au même dénominateur et résoudrele système linéaire obtenu en identifiant les coefficients du numérateur. Sil’exponentielle est indépendante des précédentes, on extrait de l’exponentielleà rajouter la partie linéaire de la dépendance en les ln précédents si lecoefficient correspondant est entier. Par exemple, on réécrit :xe 2ln(x)+ln(x)2 = x 3 e ln(x)2RemarqueOn n’est pas obligé de se limiter aux seules fonctions logarithmes et exponentielles,l’essentiel est de pouvoir tester l’indépendance algébrique des expressions créées.Pour éviter d’avoir à introduire des exponentielles et logarithmes complexes dansune expression réelle, on peut autoriser par exemple des extensions en tangente ouen arctangente.9.2.3 Théorème de LiouvilleOn a vu que la dérivée d’une fonction élémentaire dépendant d’une tour devariables est une fonction élémentaire dépendant de la même tour de variables.67