Algorithmes de calcul formel - Free

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Faites une intégration par parties sur le deuxième terme et en déduire lavaleur de l’intégrale du départ.7. Écrire un programme mettant en oeuvre l’algorithme modulaire de calcul duPGCD.8. Écrire un programme qui détermine le degré probable du PGCD par rapportà toutes les variables de 2 polynôme à plusieurs variables en utilisantl’évaluation en toutes les variables sauf une.9. Calculer le pgcd par une méthode modulaire de (xy − x + 1)(xy + x 2 + 1)et (xy − x − y)(xy − x + 1)7.3 Exercices (résultant)1. Pour quelles valeurs de p le polynôme X 5 + X 3 − pX + 1 admet-il uneracine multiple ?2. Résoudre le système en éliminant successivement les variables grâce au résultant:⎧⎨ a 3 + b 3 + c 3 = 8a 2 + b 2 + c 2 = 6⎩a + b + 2c = 43. Donner le détail des calculs avec Bézout de la décomposition en élémentssimples de :1(x 2 − 1) 2 (x + 2)puis calculer le coefficient de x n du développement en séries entières decette fraction en 0.4. Calculer ∫ 1 − x21 + x 4 dxen utilisant le résultant pour calculer les logarithmes.5. En utilisant uniquement l’instruction de calcul de PGCD déterminer la multiplicitémaximale d’un facteur irréductible de x 14 −x 13 −14x 12 +12x 11 +78x 10 −54x 9 −224x 8 +116x 7 +361x 6 −129x 5 −330x 4 +72x 3 +160x 2 −16x − 327.4 Exercice (Bézout modulaire)Soit A et B deux polynômes à coefficients entiers et premiers entre eux. Soitc ∈ Z ∗ le résultant de A et B, on va calculer les polynômes U et V de l’identité deBézoutAU + BV = c, deg(U) < deg(B), deg(V ) < deg(A) (9)par une méthode modulaire.1. Montrer, en utilisant les formules de Cramer, que les coefficients de U et Vsont des entiers de valeur absolue inférieure ou égale à la borne de Hadamardh de la matrice de Sylvester de A et B (dont le déterminant est c, le résultantde A et B). Calculer h en fonction de la norme euclidienne de A, B et deleurs degrés.42
2. On calcule c ∈ Z ∗ puis on résoud (9) dans Z/p i Z[X] pour plusieurs nombrespremiers p i (choisis si possible inférieurs à √ 2 31 pour des raisons d’efficacité),puis on calcule par le théorème des restes chinois (9) dans Z/ ∏ p i Z[X].Donner une minoration de ∏ i p i faisant intervenir h qui permette de garantirque l’écriture en représentation symétrique de (9) dans Z/ ∏ p i Z[X] estidentique à (9) dans Z[X].3. Application : résoudre de cette manière l’équation de Bézout pourA = (X + 1) 4 (X − 3), B = (X − 1) 4 (X + 2)(vous pouvez utiliser sans justifications l’instruction de calcul de résultant,des coefficients de Bézout dans Z/p i Z[X] et de reste chinois de votre logiciel).4. Écrire une fonction mettant en oeuvre cet algorithme.5. Que pensez-vous de l’intérêt de cet algorithme par rapport à l’algorithmed’Euclide étendu dans Z[X] ?43
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où les r k sont les restes success
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10.6 Exercices (algèbre linéaire)
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10.7 L’algorithme du simplexe11 I
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définit de manière récursive les
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