Algorithmes de calcul formel - Free

connaitre le nombre de racines réelles d’un polynôme dans un intervalle. Ceci esttrè utile pour par exemple simplifier des valeurs absolues de polynômes dans unintervalle.On définit donc la suite de polynômes A 0 = P, A 1 = P ′ , ..., A k , 0 par :A i = A i+1 Q i+2 − A i+2 (8)avec A k , le dernier reste non nul, un polynôme constant puisque P n’a pas deracine multiple. On utilise plutot l’algorithme du sous-résultant que l’algorithmed’Euclide, il faut alors s’assurer que les signes de A i et A i+2 sont opposés lorsqueA i+1 s’annule quitte à changer le signe de A i+2 en fonction du signe du coefficientdominant de A i+1 , de la parité de la différence des degrés et du signe du coefficientgh 1−δ .On définit s(a) comme étant le nombre de changements de signes de la suiteA i (a) en ignorant les 0. Alors le nombre de racines réelles de A 0 = P sur l’intervalle]a, b] est égal à s(a) − s(b).PreuveOn considére la suite des signes en un point : elle ne peut contenir deux 0 successifs(sinon toute la suite vaudrait 0 en ce point en appliquant (8), or A k est constant nonnul). Elle ne peut pas non plus contenir +,0,+ ni -,0,- à cause de la convention designe sur les restes de (8). Donc une racine b de A i pour 0 < i < k, n’influe passur la valeur de s au voisinage de b (il y a toujours un changement de signe entreles positions i − 1 et i + 1). Comme A k est constant, seules les racines de A 0 = Psont susceptibles de faire varier s. Comme A 1 = P ′ , le sens de variations de A 0 auvoisinage d’une racine de A 0 est déterminé par le signe de A 1 , donc les possibilitéssont -,+ vers +,+ ou +,- vers -,-, ce qui diminue s d’une unité.7 Exercices (PGCD, résultant, ...)7.1 InstructionsLes instructions arithmétiques sont en général dans la librairie standard. Ellessont dans les menus Math->Integer et Alg->Polynomes/Arit.polynomiale de Xcas.Certaines de ces instructions sont dans la librairie numtheory (en maple) ounumlib (en MuPAD) (utilisez ?numtheory ou ?numlib pour avoir la liste desfonctions de ces librairies), pour éviter de taper numlib:: ou numtheory:: àchaque fois, on peut lancer en maple la commande with(numtheory); ou enMuPAD export(numlib);.7.1.1 Entiers– chrem (en MuPAD numlib::ichrem) : restes chinois (entier)– divisors (en maple numtheory::divisors, en MuPAD numlib::divisors) :liste des diviseurs d’un entier– gcd, lcm : PGCD et PPCM– igcdex : Bézout pour des entiers– iquo et irem quotient et reste de la division euclidienne de deux entiers– isprime test de primalité. En maple et MuPAD, il s’agit d’un test depseudo-primalité. En Xcas, utiliser is_pseudoprime pour effectuer untest plus rapide de pseudo-primalité.39