Algorithmes de calcul formel - Free

––xln(x)x + ln(x) = xXx + X = −x2x + X + xla partie polynomiale est x (de degré 0 en X), la partie fractionnaire est−x 2 /(x + X)x(e 2x + 1)e x (e x + 1) 2 = x(X2 + 1)X(X + 1) 2 = − 2x(X + 1) 2 + xX−1la partie polynôme généralisé est xX −19.3.1 Intégration d’une fraction propre9.3.2 Réduction sans facteurs multiplesOn factorise D en ∏ i P ii avec P i sans facteurs multiples (et les P i premiersentre eux 2 à 2) et on décompose en éléments simples relativement à cette factorisation(en appliquant Bézout) :ND = ∑ i>0N iP iiPour chaque polynome P i , on applique Bézout à P i et P ′i :N i = A i P i + B i P ′i ⇒ N iP ii= A iP i−1ion intègre par parties le second terme∫ ∫∫Ni A i B iPii =Pii−1 −(i − 1)Pii−1 ++ B iP ′iP iiB ′ i(i − 1)P i−1ion rassemble les deux intégrales ayant Pii−1 au dénominateur et on recommencejusqu’à avoir une puissance 1 au dénominateur. Il reste alors à intégrer une sommede fractions du type N/D avec D et D ′ premiers entre eux.ExempleOn reprend le dernier exemple de la section précédente pour éliminer la puissance2 au dénominateur : N 2 = 2x et P 2 = (X + 1) avec X = e x . On a P 2 ′ = X, doncA 2 = 2x et B 2 = −2x :∫ ∫ ∫2x 2x −2xP′∫(X + 1) 2 = + 2 2xP 2 P22 = + 2x − 2 P 2 P 2 P 2il reste donc à intégrer (2x − 2)/(e x + 1).9.3.3 La partie logarithmiqueComme on l’a vu lors de la preuve du théorème de structure de Risch, si ondérive une fraction en X, le dénominateur de la dérivée ne peut se décomposerqu’en produit de facteurs de multiplicité supérieure ou égale à 2. Il en résulte que71