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Algorithme gcdheuEn arguments deux polynômes P 0 et Q 0 à coefficients entiers ou entiers de Gauss.Retourne le pgcd de P 0 et Q 0 ou faux en cas d’échec.1. Calculer le contenu de P 0 et Q 0 . Vérifier que les coefficients sont entiers deGauss sinon retourner faux.2. Extraire la partie primitive P de P 0 et Q de Q 0 , calculer le pgcd c des contenusde P 0 et Q 03. Déterminer z = 2 min(|P |, |Q|) + 2.4. Début de boucle : initialisation du nombre d’essais à 1, test d’arrêt sur unnombre maximal d’essais, avec changement de z entre deux itérations (parexemple z ← 2z).5. Calculer le pgcd g de P(z) et Q(z) puis son écriture symétrique en base zdont on extrait la partie primitive G.6. Si GnedivisepasP passer à l’itération suivante. De même pour Q.7. Retourner cG8. Fin de la boucle9. Retourner faux.On remarque au passage qu’on a calculé le quotient de P par G et le quotient de Qpar G lorsque la procédure réussit. On peut donc passer à la procédure gcdheu deuxparamètres supplémentaires par référence, les deux polynômes que l’on affecteraen cas de succès, ce qui optimise la simplification d’une fraction de 2 polynômes.4.2.2 Le pgcd modulaireOn part du fait que si D est le pgcd de P et Q dans Z (ou Z[i]) alors aprèsréduction modulo un nombre premier n qui ne divise pas les coefficients dominantsde P et Q, D divise le pgcd G de P et Q dans Z/nZ (par convention, le pgcd dansZ/nZ est normalisé pour que son coefficient dominant vaille 1). Comme on calculeG dans Z/nZ, les coefficients des restes intermédiaires de l’algorithme d’Euclidesont bornés, on évite ainsi la croissance exponentielle des coefficients. Il faudraensuite reconstruire D à partir de G.On remarque d’abord que si on trouve G = 1, alors P et Q sont premiers entreeux. En général, on peut seulement dire que le degré de G est supérieur ou égalau degré de D. En fait, le degré de G est égal au degré de D lorsque les restes del’algorithme d’Euclide (calculé en effectuant des pseudo-divisions, cf. l’exercice1) ont leur coefficient dominant non divisible par n. Donc plus n est grand, plus laprobabilité est grande de trouver G du bon degré.Dans la suite, nous allons déterminer une borne b à priori majorant les coefficientsde D. On utilisera ensuite la même méthode que dans l’algorithme modulairede recherche de racines évidentes : on multiplie G dans Z/nZ par le pgcd dans Zdes coefficients dominants p et q de P et Q. Soit ˜D = pgcd(p, q)G le résultatécrit en représentation symétrique. Si n bpgcd(p, q) et si G est du bon degré, onmontre de la même manière que D = ˜D. Comme on ne connait pas le degré de D,on est obligé de tester si ˜D divise P et Q. Si c’est le cas, alors ˜D divise D donc24
˜D = D puisque degre( ˜D) = degre(G) degre(D). Sinon, n est un nombre premiermalchanceux pour ce calcul de pgcd (degre(G) degre(D)), il faut essayerun autre premier.Remarque : On serait tenté de dire que les coefficients de D sont bornés parle plus grand coefficient de P . C’est malheureusement faux, par exemple (X +1) 2dont le plus grand coefficient est 2 divise (X + 1) 2 (X − 1) dont le plus grandcoefficient (en valeur absolue) est 1.Soit P = ∑ p i X i un polynôme à coefficients entiers. On utilise la normeeuclidienne|P | 2 = ∑ |p i | 2 (1)On établit d’abord une majoration du produit des racines de norme supérieure à 1de P à l’aide de |P |. Ensuite si D est un diviseur de P , le coefficient dominant d deD divise le coefficient dominant p de P et les racines de D sont aussi des racinesde P . On pourra donc déterminer une majoration des polynômes symétriques desracines de D et donc des coefficients de D.Lemme 2 Soit A = ∑ aj=0 a jX j un polynôme et α ∈ C. Alors|(X − α)A| = |(αX − 1)A|Pour prouver le lemme 2, on développe les produits de polynômes. On posea −1 = a a+1 = 0 et on note R la partie réelle.∑a+1∑a+1|(X − α)A| 2 = |a j−1 − αa j | 2 = |a j−1 | 2 + |α| 2 |a j | 2 − 2R(a j−1 αa j )j=0j=0∑a+1∑a+1|(αX − 1)A| 2 = |αa j−1 − a j | 2 = |α| 2 |a j−1 | 2 + |a j | 2 − 2R(αa j−1 a j )j=0j=0Les deux donnent bien le même résultat.Soit P(X) = p ∏ (X − α j ) la factorisation de P sur C. On introduit le polynôme∏ ∏˜P = p (X − α j ) (α j X − 1)j/|α j |1j/|α j |
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