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Risch, mais si j ≠ 0 sans autoriser l’ajout de nouveaux logarithmes sauf ln(Y ))et la valeur de la constante de A j+1 (on fait varier A j+1 de la constante nécessairepour absorber le terme en ln(Y ) qui apparait lors de l’appel récursif de Risch). Aurang 0, on est ramené à un problème d’intégration avec une variable de moins (laconstante indéterminée dans A 1 peut par exemple être choisie comme le coefficientconstant de ln(Y ) s’il en apparait un en intégrant).ExempleX = ln(x 2 + 1) et on cherche l’intégrale de X 2 . On a donc A 3 est constant,A ′ 2 + 3A 3 ln(x 2 + 1) ′ = 1La primitive de 1 est élémentaire et ne fait pas intervenir de ln donc A 3 = 0 etA 2 = x + C 2 . Au rang 1, on a :A ′ 1 + 3x 2xx 2 + 1 + C 2 ln(x 2 + 1) ′ = 0On calcule la primitive de 6x 2 /(x 2 + 1) qui doit être une fraction rationnelle àun C ln(x 2 + 1) près, on voit que ce n’est pas le cas donc X 2 n’admet pas deprimitive élémentaire. Remarque : si on avait voulu intégrer X au lieu de X 2 ,la même méthode montre que la primitive existe, car au rang 0 il n’y a plus decontraintes sur les ln qu’on peut rajouter.9.3.6 Extension exponentielleSi X = exp(Y ) est une exponentielle, on doit résoudre :∑(A ′ j + jY ′ A j )X j = ∑ a j X jjjCeci va se faire degré par degré :A ′ j + jY ′ A j = a j (18)ExemplePour calculer ∫ a(x)exp(x 2 ), on a j = 1, et on doit résoudre l’équation différentielle:A ′ 1 + 2xA 1 = a(x)Pour j = 0, il suffit de faire un appel récursif à l’algorithme de Risch, mais pourj ≠ 0, la situation se complique ! Notons Z la variable située juste en-dessous deX dans la tour de variables (dans l’exemple ci-dessus Z = x), il s’agit de résoudre :y ′ + fy = g (19)avec f, g élémentaires par rapport à une tour dont le variable au sommet est Z, oncherche y élémentaire par rapport à cette tour (ici f = jY ′ est une dérivée maisdans certains cas nous devrons résoudre par appel récursif des équations du typeci-dessus où f ne sera pas une dérivée).Élimination des dénominateursSoit P un facteur irréductible du dénominateur de y, notons α < 0 la valuationde y par rapport à P , β celle de f, γ celle de g. Si P n’est pas une exponentielle,74
la valuation de y ′ est α − 1, celle de fy est α + β. Si β ≠ −1, il n’y a pas desimplification possible dans le membre de gauche donc α + min(β, −1) = γ.Autrement dit, si β ≥ 0 alors α = γ +1 et si β < −1 alors α = γ −β. On observeque γ < 0 donc P est un facteur du dénominateur g d de g. De plus, on va montrerque la valuation α de P dans y est l’opposé de celle de P dans :D = gcd(g d, ∂ Z g d )gcd(c, ∂ Z c) , c = gcd(f d, g d ) (20)En effet, si β ≥ 0, P ne divise pas f d donc ne divise pas c, donc la valuation de Pdans D est −γ − 1. Si β < −1, alors α = γ − β < 0 entraine −γ > −β donc lavaluation de P dans c est −β et la valuation de P dans D est −γ − 1 − (−β − 1).Si β = −1, s’il n’y a pas de simplifications dans le membre de gauche pourles termes de plus petite puissance en P , alors α = γ + 1. S’il y a simplification,on décompose en éléments simples (avec Bézout) puis on ordonne par puissancescroissantes de P :y = N 1 P α + ..., f = N 2 P −1 + ...,avec N 1 , N 2 de degré plus petit que P , puis on remplace dans (19). On cherche lestermes de valuation α − 1 en P qui doivent se simplifier :donc :αN 1 P ′ P α−1 + N 2 P −1 N 1 P α = 0N 2 = −αP ′ce qui détermine α.RécapitulonsSi f est une dérivée, alors β = −1 est exclus et on peut appliquer (20) pour déterminerD. Si f n’est pas une dérivée, on calcule les facteurs de degré 1 de f d :f 1 =f dgcd(f d , ∂ Z f d )on décompose f par Bézout en isolant la partie N/f 1 les α possibles sont alors lesracines entières (en t) du résultant en Z de N − tf ′ 1 et f 1, ils correspondent auxfacteurs gcd(N − αf ′ 1 , f 1) que l’on retire de f d pour appliquer (20).ExempleReprenons y ′ + 2xy = a(x). Si a(x) = 1 (résolution de ∫ exp(x 2 )), ou plusgénéralement si a(x) est un polynôme, alors D = 1. Si a(x) = 1/x 2 , on trouveD = x et on pose y = xz, donc x 2 (xz ′ +z)+2x 4 z = 1 soit x 3 z ′ +(2x 4 +1)z = 1.Reste le cas où Z est une exponentielle et P = exp(z). On reprend le mêmeraisonnement, y ′ a pour valuation −α < 0, fy a pour valuation −β − α, donc siβ > 0, α = γ et si β < 0, α = γ − β. Si β = 0, s’il n’y a pas de simplificationsdu terme de plus bas degré, on est ramené au cas précédent. Si β = 0 et s’il y asimplification des termes de plus bas degré en Z, notons f 0 le coefficient constantde f par rapport à Z et y α le coefficient de Z α dans y, on ay ′ α + (αz ′ + f 0 )y α = 0donc :∫y α = exp(−αz −f 0 )75
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10.2.1 Le polynôme minimal . . . .
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Lisp). Certaines fonctions doivent
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1.2 Structures de donnéesOn a vu p
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6. Calculer la valeur de a := exp(
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