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2 Quelques algorithmes d’arithmétique de base.– Les algorithmes de multiplication et division dit rapides des entiers et polynômes(Karatsuba, FFT, ...). Cf. par exemple Knuth. ou pour les entiers ladocumentation de GMP.– Au lieu de la division euclidienne, on utilise très souvent la pseudo-divisionpour les polynômes : étant donné deux polynômes A et B de degrés a etb à coefficients dans un anneau contenu dans un corps (par exemple Z), onmultiplie A par une puissance du coefficient dominant B b de B, plus précisémentpar B a−b+1b, ce qui permet d’effectuer la division par B sans que lescoefficients sortent de l’anneau.B a−b+1bA = BQ + ROn utilise cette méthode lorsqu’on peut multiplier les polynômes par desconstantes sans changer le problème (par exemple pour l’algorithme d’Euclide).– L’algorithme d’Euclide est un algorithme « générique »de calcul de PGCD. Iln’est en général pas utilisé tel quel. Pour les entiers on utilise une variationadaptée à la représentation binaire des entiers (cf. Cohen ou le manuel deGMP version 4 pour plus de détails). Nous décrirons des algorithmes dePGCD plus efficaces pour les polynômes dans le prochain article.– l’identité de Bézout, aussi appelée PGCD étendu. Étant donné deux entiersou deux polynômes a et b on calcule u, v et d tels que au + bv = d. On écritla matrice : ( ) a 1 0b 0 1où on remarque que pour chaque ligne le coefficient de la 1ère colonne estégal à a multiplié par le coefficient de la 2ème colonne additionné à b multipliépar le coefficient de la 3ème colonne. Ce qui reste vrai si on effectue descombinaisons linéaires de lignes (type réduction de Gauß). Comme on travailledans les entiers ou les polynômes, on remplace la réduction de Gaußdes matrices à coefficients réels par une combinaison linéaire utilisant lequotient euclidien q de a par b. On obtient alors le reste r en 1ère colonne :L 3 = L 1 − qL 2⎛⎝a 1 0b 0 1r 1 −qet on recommence jusqu’à obtenir 0 en 1ère colonne. L’avant-dernière ligneobtenue est l’identité de Bézout (la dernière ligne donne le PPCM de a etb). Si l’on veut l’inverse de a modulo b on remarque qu’il n’est pas utilede calculer les coefficients appartenant à la 3ème colonne. Enfin, les lignesintermédiaires peuvent servir à reconstruire une fraction d’entier représentéepar un entier de Z/nZ lorsque le numérateur et le dénominateur sont devaleur absolue inférieure à √ n/2.– Le théorème des restes chinois. Si on connaît x = a (mod m) et x = b(mod n) avec m et n premiers entre eux, on détermine c tel que x = c(mod m × n) (c = a + mu = b + nv et on applique Bézout pour trouver uet v, on en déduit c).⎞⎠14
– Les tests de pseudo-primalité. Il est essentiel d’avoir une méthode rapidepermettant de générer des nombres premiers pour appliquer des méthodesmodulaires et p-adiques. On utilise par exemple le test de Miller-Rabin,qui prolonge le petit théorème de Fermat (si p est premier, alors a p = a(mod p)).2.1 Pour en savoir plus.Sur des aspects plus théoriques :– Knuth : TAOCP (The Art of Computer Programming), volumes 1 et suivants– Henri Cohen : A Course in Computational Algebraic Number Theory– Davenport, Siret, Tournier : Calcul formel : Systèmes et algorithmes de manipulationsalgébriquesSur des aspects plus pratiques, quelques références en ligne, la plupart sontaccessibles gratuitement :– le code source de Giac disponible à l’URL :http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html– le code source de GiNaC, cf. : http://www.ginac.de– le site http://www.hpcalc.org pour les calculatrices HP, on y trouvetout, de la documentation, des émulateurs de calculatrices HP, des outils dedéveloppement pour Windows et Unix/Linux, ... Pour ce qui concerne cetarticle, je conseille de lirehttp://www.hpcalc.org/hp48/docs/programming/rplman.zip– le site http://www.ticalc.org, on y trouve le portage tigcc du compilateurC de GNU, des émulateurs, etc. Des informations de cet article ontleur source dans le guide du développeur TI89/92http://education.ti.com/– la librairie du système MuPAD (archivée dans le fichier lib.tar des distributionsUnix, pour une installation par défaut, ce fichier se trouve dans le rérpertoire/usr/local/MuPAD/share/lib), cf. www.sciface.compour obtenir une licence d’utilisation.– en Maple, il est possible de décompiler une instruction Maple avec la commandeeval(instruction);après avoir tapéinterface(verboseproc=2);– le source du plus ancien système de calcul formel maxima (devenu logiciellibre) pour les personnes familières du langage Lisphttp://sourceforge.net/projects/maximade même pour le système Axiom– le source de librairies plus spécialisées (GMP, GP-PARI, Singular, NTL,Zen, ALP, GAP, CoCoA, ...), rechercher ces moms sur google.15
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