Algorithmes de calcul formel - Free

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arbitraire. ni pour les nombres algébriques (racines carrées par exemple).Les listes sont codées par la succession de leurs éléments. En principe ellesne peuvent pas contenir des listes (sauf pour représenter une matrice). Quelquesfonctions utilisent les listes pour représenter des polynômes denses à une variable,mais probablement pas pour représenter de manière récursive des polynômes àplusieurs variables (puisque le type liste n’est en principe pas récursif).Comme les HP, les TI utilisent une pile (non visible par l’utilisateur) appeléeexpression stack afin de traduire un expression mathématique sous forme d’un texteen un objet symbolique codé exactement comme ci-dessus en syntaxe polonaise.Toutefois, la présence du champ longueur permet d’évaluer un objet symboliquesans perdre en efficacité en partant de l’opérateur final et en redescendant ensuitesur ces arguments, c’est la stratégie adoptée. C’est pour cela que le tag d’identificationse trouve à la fin de l’objet. L’utilisation de cette méthode facilite grandementl’autoquotation (on peut toutefois regretter que le système n’ait pas prévu d’instructionpermettant à l’utilisateur d’empêcher l’évaluation d’une sous-expression).On ne peut pas faire d’hypothèse globale sur un paramètre par contre on peutfaire des hypothèses de type appartenance à un intervalle ayant une portée locale.1.2.3 Maple, MuPAD, Mathematica, ...Ces systèmes ont un noyau fermé, au sens où l’utilisateur n’a pas accès du tout,ou en tout cas pas facilement, aux structures de données de base. Je ne disposedonc pas d’information sur les structures de données utilisées par le noyau (pourMuPAD, on pourrait sans doute en savoir plus en achetant de la documentation surla programmation des modules dynamiques).L’interaction système-utilisateur se fait quasiment toujours en utilisant le langagede programmation propre au système, langage interprété par le noyau du système(ce qui ralentit l’exécution). Ces langages utilisateurs sont essentiellementnon typés : on travaille avec des variables du type générique sans pouvoir accéderaux types sous-jacents. On ne bénéficie en général pas des vérifications faites lorsde la compilation avec un langage typé, de plus ces systèmes ne sont pas toujoursfourni avec de bon outils de mise au point. Enfin ces langages ne sont pas standardisésd’un système à l’autre et il est en général impossible d’utiliser ces systèmescomme des librairies depuis un langage de programmation traditionnel. Leur intérêtprincipal réside donc dans une utilisation interactive en profitant de la librairiede fonctions accessibles.1.2.4 Giac/xcasIl s’agit du système de calcul formel que j’implémente actuellement sous formed’une bibliothèque C++ (ce qui permettra aux programmes tiers d’utiliser beaucoupplus facilement du calcul formel qu’avec les systèmes précédents). L’objectifest d’avoir un système facile à programmer directement en C++, proche du langageutilisateur, lui-même compatible avec Maple ou MuPAD, tout cela sans trop perdreen performances comparativement aux librairies spécialisées écrites en C/C++. Cequi explique un choix de type générique (gen) non orienté objet, avec un champtype et soit une donnée immédiate (pour les nombres flottants par exemple), soitun pointeur vers un objet du type correspondant au champ type pour les données10
de taille non fixe (on pourrait donc se contenter du langage C, mais le langageC++ permet de redéfinir les opérateurs sur des types utilisateurs ce qui amélioreconsidérablement la lisibilité du code source). Les données dynamiques ne sontpas dupliquées, Giac utilise un pointeur sur un compteur de référence pour détruireces données lorsqu’elles ne sont plus référencées.Les entiers en précision arbitraire sont hérités de la biblioth`que GMP (écriteen C) du projet GNU. Les flottants en précision arbitraire utiliseront aussi GMP(plus précisément MPFR). Il y a un type fraction, structure C composé d’un champnumérateur et d’un champ dénominateur, et un type nombre complexe.Les listes, vecteurs, matrices utilisent le type paramétré vector de la librairiestandard C++ (Standard Template Library). Les objets symboliques sontdes structures composés d’un champ sommet qui est une fonction prenant un argumentde type gen et renvoyant un résultat de type gen, et d’un champ feuillequi est de type gen. Lorsqu’une fonction possède plusieurs arguments, ils sontrassemblés en une liste formant le champ feuille de l’objet symbolique. Les programmessont aussi des objets symboliques, dont le champ sommet est la fonctionévaluation d’un programme. Les listes sont aussi utilisées pour représenter vecteurs,matrices et polynômes en une variable en représentation dense, on peut yaccéder par valeur (:=) ou par référence (=
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10.6 Exercices (algèbre linéaire)
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10.7 L’algorithme du simplexe11 I
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définit de manière récursive les
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