Algorithmes de calcul formel - Free

–(2x 2 − x − 2)X − 1X 2 + (x + 1)X + x , X = exp(x2 + x)On a D ′ = 2(2x + 1)X 2 + (1 + (2x + 1)(x + 1))X + 1R = −(2x − 1)(x + 1)(2x + 1)(x − 1) 2 (t + 1)(t − 1)les racines en t sont constantes et égales à 1 et -1, donc c 1 = 1 et v 1 =gcd(N−D ′ , D) = X + 1 et c 2 = −1, v 2 =gcd(N + D ′ , D) = x + X donc :∫ (2x 2 − x − 2)X − 1X 2 + (x + 1)X + x= ln(X + 1) − ln(x + X)Remarque importantePour les extensions exponentielles ou logarithmiques, la dérivée de la partie logarithmiquecalculée comme ci-dessus contiendra en général une partie entièreconstante par rapport à X, il faut donc retirer cette partie entière à la partie polynomiale.9.3.4 La partie polynomiale (généralisée)On doit résoudre :( ∑ jA j X j ) ′ = ∑ ja j X javec une somme sur j ∈ Z si X est une exponentielle et j ∈ N sinon.Si X = x, j ≥ 0 et la résolution est immédiate : on prend A 0 = 0 et A j+1 =a j /(j + 1).9.3.5 Extension logarithmiqueSi X = ln(Y ) est un logarithme, j ≥ 0 et on doit résoudre :∑(A ′ Y ′j + (j + 1)A j+1j≥0Y )Xj = ∑ ja j X jSoit k la plus grande puissance non nulle de f (a j = 0 si j > k et a k ≠ 0). Pourj > k, on a :A ′ j + (j + 1)A j+1Y ′Y = 0On résout pour des valeurs de j décroissante, pour j suffisamment grand, on aA j+1 = 0 car la somme sur j est finie, donc A j est constant. Si A j ≠ 0, alors aurang j − 1, on a A ′ j−1 = −jA jY ′ /Y qui n’admet pas de solutions car A j−1 nepeut pas dépendre de X = ln(Y ). On en déduit que pour j > k + 1, on a A j = 0et A k+1 est constant. En fait la valeur constante de A k+1 sera déterminée par unecondition de compatibilité en résolvant l’équation au rang du dessous. On continuela résolution deA ′ j + (j + 1)A j+1 ln(Y ) ′ = a jpar valeur décroissante de j, à chaque rang on va déterminer A j à une constanteprès en résolvant un problème d’intégration (par appel récursif de l’algorithme de73