Algorithmes de calcul formel - Free

finalement :Q(A)v j,0 =d∑l=1inf(l,j)∑q lm=1(lm)v j−m,l−m (32)Application à l’exemple :Ici v 0,0 = (4, 24, 12, 32, 8, −4) et v 0,1 = Av j,0 dont une préimage par Q(A) estw 1,0 = (0, 4, −4, 8, 4, −4) et w 1,1 = Aw 1,0 . On applique (32), comme q 1 = 0 etq 2 = 1 on doit avoir :Q(A)v 1,0 =2∑l=1inf(l,1)∑q lm=1(lm)v 1−m,l−m = 2v 0,1donc :v 1,0 = 2A(0, 4, −4, 8, 4, −4) = (−8, −32, 0, −48, −16, 16)v 1,1 = Av 1,0 − v 0,0 = (4, 40, −4, 64, 24, −20)On vérifie bien que Av 1,1 = 2v 1,0 + v 0,1 .10.2.11 Fonctions analytiquesSoit f une fonction analytique et M une matrice. Pour calculer f(M), on calculela forme normale de Jordan de M = P(D + N)P −1 où D =diag(d 1 , ..., d m )est diagonale et N nilpotente d’ordre n. On calcule aussi le développement deTaylor formel de f en x à l’ordre n − 1, on a alors :⎛⎞n−1∑f(N) = P ⎝diag(f (j) (d 1 ), ..., f (j) (d m ))N j ⎠P −1j!j=010.3 Quelques autres algorithmes utilesPour calculer le produit de matrices, on peut utiliser l’algorithme de Strassen,on présente ici la variante de Winograd. Soit à calculer :( )( ) ( )a1,1 a 1,2 b1,1 b 1,2 c1,1 c= 1,2a 2,1 a 2,2 b 2,1 b 2,2 c 2,1 c 2,2On calcule :s 1 = a 2,1 + a 2,2 , s 2 = s 1 − a 1,1 , s 3 = a 1,1 − a 2,1 , s 4 = a 1,2 − s 2puis :t 1 = b 1,2 − b 1,1 , t 2 = b 2,2 − t 1 , t 3 = b 2,2 − b 1,2 , t 4 = b 2,1 − t 2p 1 = a 1,1 b 1,1 , p 2 = a 1,2 b 2,1 , p 3 = s 1 t 1 , p 4 = s 2 t 2p 5 = s 3 t 3 , p 6 = s 4 b 2,2 , p 7 = a 2,2 t 4u 1 = p 1 + p 2 u 2 = p 1 + p 4 , u 3 = u 2 + p 5 , u 4 = u 3 + p 7u 5 = u 3 + p 3 , u 6 = u 2 + p 3 , u 7 = u 6 + p 693