Algorithmes de calcul formel - Free

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}E:=E,D;}return E;};E:=ecriture(B,x^2-2,2);QA:=A*A-2*idn(6);On vérifie bien que normal(QA*E(0)) et normal(QA*E(1))-E(0)) sontnuls. On sait qu’on a un bloc de taille 2 de cycles de Jordan de longueur 2, doncil n’est pas nécessaire de faire des réductions ici, il suffit de prendre une colonnenon nulle de E(0), par exemple la première colonne en x = 0 et la colonne correspondantede E(1) et leurs images par A, ici cela donne (4, 24, 12, 32, 8, −4)correspondant à (0, 4, −4, 8, 4, −4), on calcule les images par A, la matrice del’endomorphisme restreint à ce sous-espace est alors le bloc de taille 4 :⎛⎜⎝0 2 0 11 0 0 00 0 0 20 0 1 0Cette forme normale minimise le nombre de coefficients non nuls, mais présenteun inconvénient, la partie nilpotente ne commute pas avec la partie blocdiagonale,contrairement à la forme normale rationnelle de Jordan qui contient desblocs identités au-dessus de la diagonale de blocs. Pour⎛créer la forme⎞normale... 0 1rationnelle de Jordan, on doit donc remplacer les blocs ⎝ ... 0 0 ⎠ par des...matrices identités. Supposons constitués les j premiers blocs de taille d numérotésde 0 à j − 1 avec comme base de vecteurs (v 0,0 , ..., v 0,d−1 , ..., v j−1,d−1 ). Il s’agitde trouver un vecteur v j,0 pour commencer le bloc suivant. On définit alors v j,l enfonction de v j,l−1 en appliquant la relation Av j,l−1 = v j,l + v j−1,l−1 . Il faut doncchercher v j,0 tel que⎞⎟⎠Av j,d−1 = −q 0 v j,0 − ... − q d−1 v j,d−1 + v j−1,d−1 (30)En utilisant les relations de récurrence précédentes, on voit que cela revient à fixerQ(A)v j,0 en fonction des v j ′ ,l avec j ′ < j (l quelconque). Ce qui est toujourspossible en utilisant la colonne de matrices C j ′ qui s’obtiennent en fonction desC j ′ +1 en appliquant Q(A).Plus précisément, calculons les v j,l en fonction de v j,0 et des v j ′ ,l ′ (j′ < j). Onutilise les coefficients binomiaux ( )lm calculés par la règle du triangle de Pascal eton montre par récurrence que :On remplace dans (30) d’où :A d v j,0 −inf(d,j)∑m=1v j,l = A l v j,0 −(dm)v j−m,l−m +inf(l,j)∑m=1(lm)v j−m,l−m (31)d∑q l (A l v j,0 −l=092inf(l,j)∑m=1(lm)v j−m,l−m ) = 0
finalement :Q(A)v j,0 =d∑l=1inf(l,j)∑q lm=1(lm)v j−m,l−m (32)Application à l’exemple :Ici v 0,0 = (4, 24, 12, 32, 8, −4) et v 0,1 = Av j,0 dont une préimage par Q(A) estw 1,0 = (0, 4, −4, 8, 4, −4) et w 1,1 = Aw 1,0 . On applique (32), comme q 1 = 0 etq 2 = 1 on doit avoir :Q(A)v 1,0 =2∑l=1inf(l,1)∑q lm=1(lm)v 1−m,l−m = 2v 0,1donc :v 1,0 = 2A(0, 4, −4, 8, 4, −4) = (−8, −32, 0, −48, −16, 16)v 1,1 = Av 1,0 − v 0,0 = (4, 40, −4, 64, 24, −20)On vérifie bien que Av 1,1 = 2v 1,0 + v 0,1 .10.2.11 Fonctions analytiquesSoit f une fonction analytique et M une matrice. Pour calculer f(M), on calculela forme normale de Jordan de M = P(D + N)P −1 où D =diag(d 1 , ..., d m )est diagonale et N nilpotente d’ordre n. On calcule aussi le développement deTaylor formel de f en x à l’ordre n − 1, on a alors :⎛⎞n−1∑f(N) = P ⎝diag(f (j) (d 1 ), ..., f (j) (d m ))N j ⎠P −1j!j=010.3 Quelques autres algorithmes utilesPour calculer le produit de matrices, on peut utiliser l’algorithme de Strassen,on présente ici la variante de Winograd. Soit à calculer :( )( ) ( )a1,1 a 1,2 b1,1 b 1,2 c1,1 c= 1,2a 2,1 a 2,2 b 2,1 b 2,2 c 2,1 c 2,2On calcule :s 1 = a 2,1 + a 2,2 , s 2 = s 1 − a 1,1 , s 3 = a 1,1 − a 2,1 , s 4 = a 1,2 − s 2puis :t 1 = b 1,2 − b 1,1 , t 2 = b 2,2 − t 1 , t 3 = b 2,2 − b 1,2 , t 4 = b 2,1 − t 2p 1 = a 1,1 b 1,1 , p 2 = a 1,2 b 2,1 , p 3 = s 1 t 1 , p 4 = s 2 t 2p 5 = s 3 t 3 , p 6 = s 4 b 2,2 , p 7 = a 2,2 t 4u 1 = p 1 + p 2 u 2 = p 1 + p 4 , u 3 = u 2 + p 5 , u 4 = u 3 + p 7u 5 = u 3 + p 3 , u 6 = u 2 + p 3 , u 7 = u 6 + p 693
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Algorithmes de calcul formelB. Pari
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10.2.1 Le polynôme minimal . . . .
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Lisp). Certaines fonctions doivent
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1.2 Structures de donnéesOn a vu p
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fixée d’objets. On place les obj
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- Les tests de pseudo-primalité. I
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6. Calculer la valeur de a := exp(
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Théorème 1 Soit P et Q deux polyn
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˜D = D puisque degre( ˜D) = degre
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et lcoeff X1 (P 0 + P 1 ) + O(2) =
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