Algorithmes de calcul formel - Free

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matrice B(λ i ) jusqu’à ce que l’on obtienne une matrice réduite en recopiantles opérations élémentaires de colonnes faites sur B(λ i ) sur toutes les matricesB (k) (λ i )/k!. On va continuer avec la liste des matrices réduites issues de B ′ (λ i ),..., B (n i−1) (λ i )/(n i − 1)!, mais en déplacant les colonnes non nulles de B(λ i )d’une matrice vers le bas (pour une colonne non nulle de la matrice réduite B(λ)les colonnes correspondantes de B (k) (λ i ) réduite sont remplacées par les colonnescorrespondantes de B (k−1) (λ i ) réduite pour k décroissant de n i − 1 vers 1). Àchaque étape, on obtient une famille (éventuellement vide) de cycles de Jordan, cesont les vecteurs colonnes correspondants aux colonnes non nulles de la matriceréduite du haut de la colonne. On élimine bien sûr les colonnes correspondant auxfins de cycles déjà trouvés.Par exemple, si B(λ i ) ≠ 0, son rang est 1 et on a une colonne non nulle,et un cycle de Jordan de longueur n i fait des n i vecteurs colonnes des matricesB (k) (λ i )/k! réduites. Plus généralement, on obtiendra plus qu’un cycle de Jordan(et dans ce cas B(λ i ) = 0).10.2.7 Exemple 1⎛A = ⎝3 −1 12 0 11 −1 2λ = 2 est valeur propre de multiplicité 2, on obtient :⎛ ⎞ ⎛−2 −1 1B(λ) = λ 2 I + λ ⎝ 2 −5 1 ⎠ + ⎝1 −1 −3⎞⎠1 1 −1−3 5 −1−2 2 2⎞⎠on applique l’algorithme de Horner :B(2) =B ′ (2) =⎛⎝⎛⎝1 −1 11 −1 10 0 02 −1 12 −1 11 −1 1⎞⎠ ,⎞⎠Comme B(2) ≠ 0, on pourrait arrêter les calculs en utilisant une colonne nonnulle et le cycle de Jordan associé (2, 2, 1) → (1, 1, 0) → (0, 0, 0). Expliquonstout de même l’algorithme général sur cet exemple. La réduction de B(2) s’obtienten effectuant les manipulations de colonnes C 2 + C 1 → C 2 et C 3 − C 1 → C 3 . Oneffectue les mêmes opérations sur B ′ (2) et on obtient :⎛⎝⎛⎝1 0 01 0 00 0 02 1 −12 1 −11 0 0⎞⎠,⎞⎠88
L’étape suivante consiste à déplacer vers le bas d’une matrice les colonnes nonnulles de la matrice du haut, on obtient :⎛ ⎞1 1 −1⎝ 1 1 −1 ⎠0 0 0qui se réduit en :⎛⎝1 0 01 0 00 0 0on chercherait alors dans les colonnes 2 et 3 de nouveaux cycles (puisque la colonne1 a déja été utilisée pour fournir un cycle).10.2.8 Exemple 2⎞⎠⎛A = ⎝3 2 −2−1 0 11 1 0λ = 1 est valeur propre de multiplicité 3. On trouve :⎛ ⎞0 0 0B(1) = ⎝ 0 0 0 ⎠,0 0 0⎛2 2 −2B ′ (1) = ⎝ −1 −1 11 1 −1⎛ ⎞B ′′ 1 0 0(1)= ⎝ 0 1 0 ⎠20 0 1⎞⎠⎞⎠,Le processus de réduction commence avec B ′ (1) en haut de la liste de matrices, oneffectue les opérations élémentaires de colonne C 2 − C 1 → C 2 et C 3 + C 1 → C 3et on obtient :⎛⎝2 0 0−1 0 01 0 0⎛⎝1 −1 10 1 00 0 1La première colonne donne le premier cycle de Jordan (1, 0, 0) → (2, −1, 1). Ondéplace les premières colonnes d’une matrice vers le bas :⎛⎝⎞⎠ ,⎞⎠2 −1 1−1 1 01 0 189⎞⎠
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Algorithmes de calcul formelB. Pari
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10.2.1 Le polynôme minimal . . . .
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Lisp). Certaines fonctions doivent
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1.2 Structures de donnéesOn a vu p
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fixée d’objets. On place les obj
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n 2k , donc :P(p k ) + n k xP ′ (
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- Les tests de pseudo-primalité. I
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6. Calculer la valeur de a := exp(
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p:=lgcd(P); // pgcd des elements de
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Théorème 1 Soit P et Q deux polyn
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˜D = D puisque degre( ˜D) = degre
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le pgcd est 1). Cela reste vrai mê
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Il s’agit de reconstruire le pgcd
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Il existe une variation de cet algo
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et lcoeff X1 (P 0 + P 1 ) + O(2) =
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pas avec le cofacteur de G. Si on
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Page 97 and 98: 10.6 Exercices (algèbre linéaire)
Page 99 and 100: 10.7 L’algorithme du simplexe11 I
Page 101: définit de manière récursive les
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