Algorithmes de calcul formel - Free

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On suppose donc queP = Π n j=1P j (mod p)où les P j sont premiers entre eux deux à deux dans Z/pZ. Il s’agit de trouver despolynômes P j,k = P j (mod p) tels queCommençons par le cas k = 2. On poseOn a alors :Donc :P = Π n j=1P j,k (mod p k )P j,2 = P j + pQ j = P j (mod p)P = Π n j=1P j,2 (mod p 2 ) = Π n j=1(P j + pQ j ) (mod p 2 )n∑= Π n j=1P j + p Q j Π k≠j P k (mod p 2 )n∑j=1j=1Q j Π k≠j P k = P − Πn j=1 P jp(mod p)On est ramené à résoudre une identité de Bézout généralisée. On montrera dansl’appendice le :Théorème 4 (Identité de Bézout généralisée) Soit P 1 , ..., P n (n ≥ 2) des polynômespremiers entre eux deux à deux modulo p. Alors pour tout polynôme Q, ilexiste des polynômes Q 1 , ..., Q n tels que :n∑Q j Π k≠j P k = Q (mod p)j=1On a donc réussi à remonter l’égalité P = ΠP j (mod p) à P = ΠP j,2(mod p 2 ). Le passage de P = ΠP j,l (mod p l ) à P = ΠP j,l+1 (mod p l+1 ) estidentique, on a :P j,l+1 = P j,l + p l Q joù les Q j sont les solutions de l’identité de Bézout généralisée avec :Q = P − Πn j=1 P j,lp lLorsqu’on programme cet algorithme (cf. l’appendice), on calcule une foispour toutes les solutions de l’identité de Bézout pour Q = 1, et on multiplie par Q.Algorithme de remontée de Hensel linéaireArguments : Un polynôme P à coefficients entiers, la liste L = {P j } de ses facteursdans Z/pZ[X]Valeur renvoyée : la liste des facteurs de P dans Z/p l Z[X]On calcule la borne de Landau-Mignotte 6 pour les facteurs de P , on multiplie parle coefficient dominant de P et on calcule l tel que p l est strictement plus grand quedeux fois cette quantité. On calcule aussi les polynômes Q j de l’identité de Bézoutgénéralisée pour Q = 1Puis on fait une boucle pour k variant de 2 à l :6 Rappelons qu’il s’agit d’une majoration sur la valeur absolue des coefficients des facteurs de P52
– On détermine P −Π j P j (mod p k ), on divise par p k−1 et on place le résultatdans Q– On multiplie les polynômes Q j de l’identité de Bézout généralisée (correspondantsau polynôme 1) par Q et on détermine le reste de la division euclidiennede QQ j par P j , on multiplie par p k−1 et on ajoute le résultat àP j .Il existe une version quadratique de cette méthode. On passe alors de P =ΠP j,l (mod p l ) à P = ΠP j,2l (mod p 2l ). Pour cela, il faut trouver les polynômesQ j solutions de l’équation :n∑Q j Π k≠j P k,l = Q (mod p l )j=1Pour l = 1, c’est l’identité de Bézout généralisée, mais ce n’est plus le cas pourl > 1. En fait, on résout cette égalité en remontant l’identité de Bézout quadratiquement,plus précisément pour trouver les S j solutions den∑S j Π k≠j P k,2l = Q (mod p 2l )j=1on pose S j = Q j + p l R j , il s’agit donc de trouver les R j solutions den∑(Q j + p l R j )Π k≠j P k,2l = Q (mod p 2l )soit :n∑j=1j=1R j Π k≠j P k,l = Q − ∑ nj=1 Q jΠ k≠j P k,lp l (mod p l )on en déduit les R j .Algorithme de remontée de Hensel quadratiqueArguments et valeur renvoyée identiques à l’algorithme de remontée de Hensellinéaire ci-dessus.On commence comme dans le cas linéaire par calculer les coefficients de l’identitéde Bézout généralisée pour Q = 1 et la valeur de l telle que p 2l soit supérieur àdeux fois la borne de Landau des facteurs de P fois le coefficient dominant de P .On fait une boucle sur k variant de 1 à l :– On calcule P − Π j P j (mod p 2k ), on divise par p 2k−1 et on place le résultatdans Q– On multiplie par Q les polynômes Q j de l’identité de Bézout généralisée(avec comme second membre le polynôme 1), on calcule le reste euclidiendu résultat par P j (modulo p 2k−1 ), on multiplie par p 2k−1 et on ajoute à P j(avec les notations précédentes, on passe ainsi des P j,2 k−1 aux P j,2 k)– Si k = l on renvoie la liste des P j– On calcule 1 − ∑ j Q jΠ k≠j P k (mod p 2k ), on divise par p 2k−1 et on placele résultat dans Q– On multiplie par Q les polynômes Q j de l’identité de Bézout, généralisée eton calcule le reste euclidien du résultat par P j (modulo p 2k−1 ), on multipliepar p 2k−1 et on ajoute à Q j (ce qui ajuste les polynômes Q j qui vérifientmaintenant l’identité de Bézout modulo p 2k )53
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