Algorithmes de calcul formel - Free

où les f i sont soit l’exponentielle soit le logarithme d’une fraction rationnelle (lecorps de base appelé aussi corps de constantes ici est soit C, soit une extension algébriquede Q ou une extension algébrique d’un corps de fractions rationnelles s’ily a des paramètres). On appelle tour de variables la suite des x, f 1 , ..., f n (chaqueétage est donc une exponentielle d’une fraction rationnelle ou le logarithme d’unefraction rationnelle dépendant des étages précédents) et on dira que f est une fonctionélémentaire par rapport à cette tour de variables.L’intérêt de l’écriture d’une expression sous forme de tour est qu’elle est stablepar dérivation : si on dérive par rapport à x une fonction élémentaire dépendantd’une tour de variables, on obtient encore une fonction élémentaire dépendant dela même tour de variables. Autrement dit, l’ensemble des fonctions élémentairespour une tour fixée est un corps différentiel.Exemples :– e x2 est bien dans ce cas, pour n = 1, f 1 est l’exponentielle de x 2 qui estalgébriquement indépendant de x. Les fonctions (2x 2 −1)e x2 ou x/(e x2 −1)sont aussi élémentaires par rapport à la tour de variables {x, e x2 }.– xln(x)exp(x) est élémentaire par rapport à la tour {x,ln(x), exp(x)}, maisaussi par rapport à la tour {x,exp(x), ln(x)}.– xe x ln(x) est élémentaire, en prenant n = 2, f 1 = ln(x) et f 2 = e xf 1.– x n = e n ln(x) , où n est un paramètre, convient avec comme tour {x,ln(x), e n ln(x)– e ln(x) ne convient pas car il n’est pas algébriquement indépendant de x,ln(x)mais on peut le réécrire sous une forme acceptable puisque e ln(x) = x.– e ln(x)/2 ne convient pas non plus car son carré est égal à x. Une réécriturene suffit pas, cet exemple est bien sûr une extension algébrique et non transcendante.Dans la suite, on va s’intéresser aux tours de variables dans lesquelles on aeffectué des simplifications évidentes. On élimine les ln ◦ exp de la manière suivante: si f k = ln(g k ), on regarde si g k vu comme fraction en f 1 , ..., f k−1 possèdeun facteur fjm (avec m ∈ Z) lorsque f j = exp(g j ) est une exponentielle. Si c’estle cas, on a f k = mg j + ln(g k /gj m). On change alors de tour en remplaçant f k par˜f k = ln(g k /gj m) = f k −mg j . On élimine aussi les exp ◦ ln, si f k = exp(g k ), pourj < k si f j est un logarithme, on regarde si c j = ∂ fj g k | fj =0 est un entier, si c’estle cas on remplace f k par ˜f k = f k /g c jk .Exemples :ln( ex2 + 1) → −x 2 + ln(e x2 + 1)e x2e 3ln(x)+ln(x)2 +5→ x 3 e ln(x)2 +59.2.2 Théorème de structure de RischOn voit donc qu’il est nécessaire de disposer d’un algorithme pour décidersi des exponentielles et logarithmes sont algébriquement indépendants. Cet algorithmeest basé sur un théorème de structure dû à Risch :Théorème 6 Soit f = ln(g(x)) le logarithme d’une fonction élémentaire g parrapport à une tour de variables T , alors soit f est algébriquement indépendantdes variables de T , soit f est élémentaire et plus précisément combinaison linéairerationnelle des logarithmes et des arguments des exponentielles de la tour T .63