Algorithmes de calcul formel - Free

ce qui correspond à l’élimination du terme constant du quotient de P par Q, onobtient ⎛⎞0 0 r 2,n−2 ... ...0 0 0 r 2,n−2 ...⎜ q n−1 q n−2 q n−3 q n−4 ...⎟⎝ 0 q n−1 q n−2 q n−3 ... ⎠0 0 q n−1 q n−2 ...si on enlève les lignes 3 et 4, et les colonnes 1 et 2, on obtient (après échanges delignes) une sous-matrice de la matrice de Sylvester de Q et R 2⎛q n−1 q n−2⎞...⎝ r 2,n−2 ... ... ⎠0 r 2,n−2 ...On recommence les opérations de réduction de cette sous-matrice correspondant àla division euclidienne de Q par R 2 , on obtient⎛0 0⎞r 3,n−3⎝ r 2,n−2 ... ... ⎠0 r 2,n−2 ...puis après suppression des colonnes 1 et 2 et des lignes 2 et 3 la ligne des coefficientsde R 3 .Supposons qu’on se limite dès le début de la réduction à ne garder que lescolonnes 1 à 4 et une 5-ième colonne parmi les suivantes, on obtient à la fin dela réduction une matrice 1,1 qui contient un des coefficients de R 3 (selon le choixde la 5-ième colonne). Donc ce coefficient est égal au déterminant de la matrice1,1 qui est égal, au signe près, au déterminant de la matrice 3,3 dont il est issupar notre réduction (en effet, dans la 2ième partie de la réduction, on a multipliédeux fois L 1 par r 2,n−2 , mais on doit ensuite diviser le déterminant par r2,n−22pour éliminer les colonnes 1 et 2). Quant au déterminant de la matrice 3,3, il sedéduit du déterminant de la matrice 5,5 par multiplication par qn−1 4 (2 lignes ontété multipliées 2 fois par q n−1 ) et division par qn−1 2 (élimination des colonnes 1 et2). Au final, tout coefficient de R 3 est égal au produit d’un déterminant 5,5 extraitde la matrice de Sylvester de P et Q par qn−1 2 , qui est justement le coefficient“magique” par lequel on divise le reste de R 1 = Q par R 2 lors de l’algorithme dusous-résultant.4.2 Le pgcd en une variable.4.2.1 Le pgcd heuristique.On suppose ici que les coefficients sont entiers ou entiers de Gauss. On peutdonc se ramener au cas où les polynômes sont primitifs.L’idée consiste à évaluer P et Q en un entier z et à extraire des informations dupgcd g des entiers P(z) et Q(z). Il faut donc un moyen de remonter de l’entier g àun polynôme G tel que G(z) = g. La méthode consiste à écrire en base z l’entierg, avec une particularité dans les divisions euclidiennes successives on utilise le21