Algorithmes de calcul formel - Free

la fraction à intégrer résiduelle (encore notée f = N/D) après l’étape de réductionci-dessus ne peut provenir que de la dérivation de F = ∑ k c k ln(v k ) :f = N D = F ′ = ( ∑ kc k ln(v k )) ′ = ∑ kc kv ′ kv kEn identifiant les décompositions en éléments simples de F ′ et f, on montre égalementque les v k divisent D, plus précisément on peut imposer aux v k d’être premiersentre eux 2 à 2 et dans ce cas D = ∏ v k . Donc :et :∑kc kv ′ kv k=N = ∑ kN ∏k v kc k v ′ k∏j≠k= N DSoit t un paramètre, formons le polynôme N − tD ′ :⎛N − tD ′ = ∑ ∏⎝(c k − t)v k′kj≠kv jv j⎞⎠donc le pgcd en X des polynômes N − tD ′ et D est :– si t n’est égal à aucun des c k , N − tD ′ est premier avec v k pour tout k carv k divise ∑ l≠k (c l − t)vl′ ∏j≠l v j et vk′ ∏j≠k v j est premier avec v k . Doncle pgcd est 1.– si t est égal à l’un des c k , alors le pgcd est le produit des v k tels que c k = t(notons que dans ce cas on peut rassembler ces v k à l’intérieur d’un mêmelogarithme)Considérons le polynôme R de la variable t égal au résultant par rapport à X despolynômes D et N −tD ′ (rappelons qu’il s’agit du déterminant du système linéaireAD + B(N − tD ′ ) = 1 où les inconnues sont les coefficients des polynômes A etB, ce déterminant est nul si et seulement si le système n’a pas de solution donc siet seulement si D et N − tD ′ ne sont pas premiers entre eux), alors ce polynômeen t s’annule si et seulement si t = c k . On cherche les racines c k en t de cepolynôme, elles doivent être indépendantes de x si F est élémentaire, et dans cecas la primitive F de f = N/D vaut∑F = c k ln(gcd(N − c k D ′ , D))Exemples–c k racine de R2x − 2e x + 1 , D = X + 1, D′ = e x = X, N − tD ′ = 2x − 2 − tXOn calcule R = −2 ∗ x − t + 2, l’unique racine est t = 2 − 2x qui n’est pasconstante donc cette fonction n’admet pas de primitive élémentaire.72