Algorithmes de calcul formel - Free

10.6 Exercices (algèbre linéaire)10.6.1 Instructions– Les commandes d’algèbre linéaire de Xcas sont regroupées dans le menuMath->Alglin. En maple et mupad, la commande ?linalg affiche laliste des commandes d’algèbre linéaire.– En maple il est conseillé d’exécuter with(linalg) ;, en mupad export(linalg) ;,sinon il faut précéder chaque commande de linalg : :.– En maple, attention il faut utiliser le caractère & avant la multiplication et ilfaut souvent utiliser evalm dans les programmes utilisant des matrices etvecteurs.– Pour travailler avec des coefficients modulaires, en Xcas on fait suivre les coefficientsou matrices de % n, en maple on utilise les noms de commandesavec une majuscule (forme inerte) suivi de mod n, en mupad on définit lescoefficients dans l’anneau, par exempleZ19:=Dom::IntegerMod(19): MatZ19 := Dom::Matrix(Z19):A:=MatZ19([[1, 2], [2]]); Z19(5)*A;10.6.2 Exercices1. En utilisant un logiciel de calcul formel, comparez le temps de calcul d’undéterminant de matrice aléatoire à coefficients entiers de tailles 50 et 100,d’une matrice de taille 6 et 12 avec comme coefficients symboliques lignej colonne k, x j+k lorsque j + k est pair et 0 sinon. Peut-on en déduire uneindication sur l’algorithme utilisé ?2. Écrire un programme calculant la borne de Hadamard d’un déterminant àcoefficients réels (rappel : c’est la borne obtenue en faisant le produit desnormes euclidiennes des vecteurs colonnes).3. Créez une matrice 4x4 aléatoire avec des coefficients entiers compris entre-100 et 100, calculer la borne de Hadamard de son déterminant avec le programmeprécédent, calculer ce déterminant modulo quelques nombres premierschoisis en fonction de la borne de Hadamard et vérifiez le résultat dela reconstruction modulaire du déterminant.4. Créez une matrice 100x100 aléatoire à coefficients entiers et calculez sondéterminant modulo quelques nombres premiers. Dans quels cas peut-onconclure que la matrice est inversible dans R ? dans Z ?5. Écrire un programme calculant par interpolation de Lagrange le polynômecaractéristique d’une matrice (en donnant à λ de det(λI −A), n+1 valeursdistinctes).6. (Long) Écrire un programme qui calcule un déterminant de matrice en calculantles mineurs 2x2 puis 3x3 etc. (méthode de Laplace)7. Recherche du polynôme minimal. On prend un vecteur aléatoire à coefficientsentiers et on calcule v, Av, ..., A n v puis on cherche une relation linéaireminimale entre ces vecteurs, en calculant le noyau de la matrice ayantces vecteurs colonnes. Si le noyau est de dimension 1, alors le polynômeminimal est égal au polynome caractéristique et correspond à un vecteur dela base du noyau. Sinon, il faut choisir un vecteur du noyau correspondant97