Algorithmes de calcul formel - Free

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au degré le plus petit possible puis faire le PPCM avec les polynomes obtenursavec d’autres vecteurs pour obtenir le polynôme minimal avec unegrande probabilité. Essayez avec la matrice A de taille 3 ayant des 0 sur ladiagonale et des 1 ailleurs. Écrire un programme mettant en oeuvre cetterecherche, testez-le avec une matrice aléatoire de taille 30.8. Testez l’algorithme méthode de Fadeev pour la matrice A ci-dessus. Mêmequestion pour⎛A = ⎝3 −1 12 0 11 −1 2⎞⎛⎠ , A = ⎝3 2 −2−1 0 11 1 0⎞⎠9. Écrire un programme calculant par une méthode itérative la valeur propre demodule maximal d’une matrice à coefficients complexes. Dans le cas réel,modifier le programme pour pouvoir traiter le cas d’un couple de complexesconjugués de module maximal. Dans le cas hermitien ou réel symétrique, éliminerle couple valeur propre/vecteur propre et continuer la diagonalisationnumérique.10. Soient |a|, |b| < √ n/2 Écrire une fonction ayant comme arguments a/b(mod n) qui calcule a et b.Utiliser ce programme pour résoudre un système 4,4 à coefficients entierspar une méthode p-adique.98
10.7 L’algorithme du simplexe11 InterpolationÉtant donné la facilité de manipulation qu’apportent les polynomes, on peutchercher à approcher une fonction par un polynôme. De plus l’interpolation est unoutil très utilisé pour calculer des polynômes en calcul formel.11.1 LagrangeLa méthode la plus naturelle consiste à chercher un polynôme de degré le pluspetit possible égal à la fonction en certains points x 0 , ..., x n et à trouver une majorationde la différence entre la fonction et le polynôme. Le polynome interpolateurde Lagrange répond à cette question.Soit donc x 0 , ..., x n des réels distincts et y 0 , ..., y n les valeurs de la fonction àapprocher en ces points (on posera y j = f(x j ) pour approcher la fonction f). Oncherche donc P tel que P(x j ) = y i pour j ∈ [0, n].Commencons par voir s’il y a beaucoup de solutions. Soit P et Q deux solutionsdistinctes du problème, alors P − Q est non nul et va s’annuler en x 0 , ..., x ndonc possède n + 1 racines donc est de degré n + 1 au moins. Réciproquement,si on ajoute à P un multiple du polynome A = ∏ nj=0 (X − x j), on obtient uneautre solution. Toutes les solutions se déduisent donc d’une solution particulière eny ajoutant un polynome de degré au moins n + 1 multiple de A.Nous allons maintenant construire une solution particulière de degré au plusn. Si n = 0, on prend P = x 0 constant. On procède ensuite par récurrence. Pourconstruire le polynôme correspondant à x 0 , ..., x n+1 on part du polynoôme P n correspondantà x 0 , ..., x n et on lui ajoute un multiple réel de AP n+1 = P n + an∏(X − x j )Ainsi on a toujours P n+1 (x j ) = y j pour j = 0, ..n, on calcule maintenant a pourque P n+1 (x n+1 ) = y n+1 . En remplacant avec l’expression de P n+1 ci-dessus, onobtientn∏P n (x n+1 ) + a (x n+1 − x j ) = y n+1j=0j=0Comme tous les x j sont distincts, il existe une solution unique a :a = y n+1 − P n (x n+1 )∏ nj=0 (x n+1 − x j )On a donc prouvé le :Théorème 10 Soit n + 1 réels distincts x 0 , ..., x n et n + 1 réels quelconquesy 0 , ..., y n . Il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n, appelépolynome de Lagrange, tel que :P(x i ) = y i99
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Algorithmes de calcul formelB. Pari
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10.2.1 Le polynôme minimal . . . .
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Lisp). Certaines fonctions doivent
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1.2 Structures de donnéesOn a vu p
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fixée d’objets. On place les obj
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n 2k , donc :P(p k ) + n k xP ′ (
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- Les tests de pseudo-primalité. I
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6. Calculer la valeur de a := exp(
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p:=lgcd(P); // pgcd des elements de
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Théorème 1 Soit P et Q deux polyn
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˜D = D puisque degre( ˜D) = degre
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le pgcd est 1). Cela reste vrai mê
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et lcoeff X1 (P 0 + P 1 ) + O(2) =
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pas avec le cofacteur de G. Si on
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connaitre le nombre de racines rée
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2. On calcule c ∈ Z ∗ puis on r
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8.1 Les facteurs multiplesÉtant do
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Page 97: 10.6 Exercices (algèbre linéaire)
Page 101: définit de manière récursive les
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