Algorithmes de calcul formel - Free

0..n − 1) du polynôme en λ donnant la matrice adjointe (ou comatrice) B(λ) deλI − A :(λI − A)B(λ) = (λI − A)k≤n−1B ∑k λ k = ( ∑ p k λ k )I = P(λ)I (23)k≤nRemarquons que cette équation donne une démonstration assez simple de Cayley-Hamilton puisque le reste de la division euclidienne du polynôme P(λ)I par λI−Aest P(A).Pour déterminer simultanément les p k et B k , on a les relations de récurrence :B n−1 = p n I = I, B k − AB k+1 = p k+1 I (24)Il nous manque une relation entre les p k et B k pour pouvoir faire le calcul parvaleurs décroissantes de k, on va montrer le :Théorème 8 La dérivée du polynôme caractéristique P ′ (λ), est égale à la tracede la matrice adjointe de λI − Atr(B) = P ′ (λ)Le théorème nous donne tr(B k ) = (k + 1)p k+1 . Si on prend la trace de (24), on a :tr(B n−1 ) = np n , (k + 1)p k+1 − tr(AB k+1 ) = np k+1donc on calcule p k+1 en fonction de B k+1 puis B k :p k+1 = tr(AB k+1)k + 1 − n ,B k = AB k+1 + p k+1 IDémonstration du théorème :Soient V 1 (λ), ...V n (λ) les vecteurs colonnes de λI − A et b i,j (λ) les coefficientsde B, on a :P ′ (λ 0 ) = det(V 1 (λ), V 2 (λ), ..., V n (λ)) ′ |λ=λ 0= det(V 1(λ ′ 0 ), V 2 (λ 0 ), ..., V n (λ 0 )) + det(V 1 (λ 0 ), V 2(λ ′ 0 ), ..., V n (λ 0 )) ++... + det(V 1 (λ 0 ), V 2 (λ 0 ), ..., V n(λ ′ 0 ))Il suffit alors de remarquer que V ′i (λ 0) est le i-ième vecteur de la base canoniquedonc :det(V 1 (λ 0 ), V 2 (λ 0 ), ..., V ′i (λ 0 ), ..., V n (λ 0 )) = b i,i (λ 0 )Finalement :P ′ (λ 0 ) =n∑b i,i (λ 0 ) = tr (B(λ 0 ))Remarque :En réindexant les coefficients de P et B de la manière suivante :i=1P(λ) = λ n + p 1 λ n−1 + p 2 λ n−2 ... + p nB(λ) = λ n−1 I + λ n−2 B 1 + ... + B n−185