Algorithmes de calcul formel - Free

Réciproquement, supposons qu’une fonction élémentaire admette une primitive quisoit élémentaire, c’est-à-dire qu’elle doit être une fraction rationelle par rapport àune tour de variables mais pas forcément identique à celle de départ. Alors, si unetelle écriture existe, à des termes logarithmiques près, elle ne peut dépendre que dela même tour de variables, plus précisément on a le théorème de Liouville :Théorème 7 Soit f une fonction élémentaire par rapport à une tour de variablesT et un corps de constantes K admettant une primitive élémentaire F . Alors ilexiste un nombre fini de constantes c 1 , ..., c n et de fonctions élémentaires v 1 , ..., v npar rapport à T avec comme corps de constantes une extension algébrique K ′ deK tel que F − ∑ k c k ln(v k ) soit élémentaire par rapport à T et K.Preuve : 10Soit f élémentaire de tour T 1 (corps K) et F sa primitive supposée élémentaire detour T 2 et de corps K ′ une extension algébrique de K. On commence par rajouteraprès les élements de T 1 les élements nécessaires de T 2 pour obtenir une tour T parrapport à laquelle f et F sont élémentaires (plus précisément F sera élémentairequitte à autoriser des puissances fractionnaires des variables exponentielles de T 1 ).Le théorème de structure de Risch permet de faire cela, en effet on regarde pourchaque élément de T 2 s’il est algébriquement indépendant des éléments de T 1 ounon. S’il l’est, on le rajoute à la tour T , s’il ne l’est pas alors dans le cas d’un logarithmeil est élémentaire et dans le cas d’une exponentielle, une de ses puissancesest élémentaire. Donc F est bien une fraction rationnelle par rapport aux élémentslogarithmiques de T 1 , aux racines n-ième des éléments exponentiels de T 1 et à deséléments de T 2 dans cet ordre (le corps des constantes étant K ′ ).Première étape :Commençons par les éléments restant de T 2 . Soit X k l’élément au sommet de latour T . La dérivée f de F par rapport à X k ne dépend pas de X k . Donc soit Fne dépend pas de X k et on passe à la variable suivante, soit X k = ln(v k ) est unlogarithme et F = c k ln(v k ) + d k avec c k ∈ K ′ et v k et d k indépendants de X k .S’il n’y a pas d’autres éléments restants de T 2 , on passe à la 2ème étape. Sinon soitX k−1 la variable suivante (juste en-dessous de X k dans la tour). En dérivant, on a :F ′ = c kv ′ kv k+ d ′ k = fSupposons que v k dépende de X k−1 , on fait alors un raisonnement analogue àcelui de la preuve du théorème de structure de Risch, en décomposant v k en produit/quotientde facteurs sans multiplicités v k = ∏ P j j et en écrivant d k = N/Don a :⎛⎝ ∏ jP j⎞⎠ N ′ D − ND ′D 2est un polynôme en X k−1 . On en déduit comme précédemment que D = 1,N ′ = d ′ k est indépendant de X k−1. Comme on a supposé que v k dépend de X k−1 ,X k−1 = exp(Y k−1 ) est alors une exponentielle, N = d k ne dépend pas de X k−1 etl’un des P j = X k−1 (sinon tous les P j seraient constants en X k−1 donc v k aussi).10 Peut être omise en première lecture68