Algorithmes de calcul formel - Free

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qu’on réduit par les opérations 2C 2 + C 1 → C 2 et 2C 3 − C 1 → C 3 en :⎛ ⎞2 0 0⎝ −1 1 1 ⎠1 1 1Puis on effectue C 3 − C 2 → C 3 et la deuxième colonne nous donne le deuxièmecycle de Jordan, réduit ici à un seul vecteur propre (0, 1, 1).10.2.9 Le polynôme minimal par FaddeevOn vérifie aisément que le degré du facteur (λ−λ i ) dans le polynôme minimalde A est égal à n i − k où k est le plus grand entier tel que :∀j < k, B (j) (λ i ) = 010.2.10 Formes normales rationnellesOn se place ici dans une problématique différente : trouver une matrice semblablela plus simple possible sans avoir à introduire d’extension algébrique pourfactoriser le polynôme caractéristique. Quitte à “compléter” plus tard la factorisationet la jordanisation à partir de la forme simplifiée. Il existe diverses formesassociées à une matrice et plusieurs algorithmes permettant de les relier entre elles,forme de Smith, de Frobenius, forme normale de Jordan rationnelle.On va présenter une méthode directe de calcul d’une forme normale contenantle maximum de zéros (dont la forme dite normale de Jordan rationnelle peut sedéduire) en utilisant le même algorithme que pour la forme normale de Jordan.Soit Q(λ) = q 0 + ... + q d λ d un facteur irréductible de degré d et de multiplicité qdu polynôme caractéristique P . Il s’agit de construire un sous-espace de dimensiondq formé de “cycles de Jordan rationnels”. On part toujours de la relation (λI −A) ∑ k≤n−1 B kλ k = P(λ)I. On observe que Q(λ)I − Q(A) est divisible par(λI − A) donc il existe une matrice M(λ) telle que :(Q(λ)I − Q(A))( ∑B k λ k ) = Q(λ) q M(λ)k≤n−1On observe aussi que Q a pour coefficient dominant 1 puisqu’il divise P , on peutdonc effectuer des divisions euclidiennes de polynômes donc de polynômes à coefficientsmatriciels par Q sans avoir à diviser des coefficients. Ce qui nous permetde décomposer B(λ) = ∑ k≤n−1 B kλ k en puissances croissantes de Q :B(λ) = ∑ kC k (λ)Q(λ) k ,deg(C k ) < qOn remplace et on écrit que les coefficients des puissances inférieures à q de Qsont nulles (la k-ième étant non nulle car M(λ) n’est pas divisible par Q pour lesmêmes raisons que pour la forme normale de Jordan). On a donc les relations :Q(A)C 0 = 0, C k = Q(A)C k+1ce qui donne une colonne de matrice C q−1 → C q−2 ... → C 0 → 0 qui sont imagesl’une de l’autre en appliquant Q(A). On peut alors faire l’algorithme de réduction90
simultanée sur les colonnes des C j . On observe ensuite que le nombre de cycles deJordan de Q(A) de longueur donnée est un multiple de d, en effet il suffit de multiplierun cycle par A, ..., A d−1 pour créer un autre cycle, de plus ces cycles formentdes familles libres car on a supposé Q irréductible. On peut donc choisir pour uncycle de longueur k des bases de la forme (v k−1 , Av k−1 ..., A d−1 v k−1 ) → ... →(v 0 , Av 0 ..., A d−1 v 0 ) → (0, ...,0) où la flèche → désigne l’image par Q(A). Si onécrit la matrice de A dans la base v 0 , Av 0 ..., A d−1 v 0 , ..., v k−1 , Av k−1 ..., A d−1 v k−1on obtient un “quasi-bloc de Jordan rationnel” de taille kd multiple de d :ExempleSoit la matrice⎛⎞0 0 ... −q 0 0 0 ... 1 ...1 0 ... −q 1 0 0 ... 0 ...0 1 ... −q 2 0 0 ... 0 .... . ... . . . ... . ...0 0 ... −q d−1 0 0 ... 0 ...0 0 ... 0 0 0 ... −q 0 ...⎜⎝ 0 0 ... 0 1 0 ... −q 1 ... ⎟⎠.. ....1−32.. ...−1 321212. ...⎛⎞1 −2 4 −2 5 −45 −7 −50 12 22 2−5 −1 5A =1222 2−39 −7 −7⎜ 0 −12 23 2 ⎟⎝ 0 0 2 −2 3 −1 ⎠Son polynôme caractéristique est (x−2) 2 (x 2 −2) 2 et on va déterminer la partie blocde Jordan rationnel correspondant au facteur irréductible sur les entiers Q(x) =(x 2 − 2) de multiplicité q = 2. On calcule B(x) et l’écriture de B comme sommede puissances de Q (ici avec xcas en mode xcas) :A:=[[1,-2,4,-2,5,-4],[0,1,5/2,(-7)/2,2,(-5)/2],[1,(-5)/2,2,1/(-2),5/2,-3][0,-1,9/2,(-7)/2,3,(-7)/2],[0,0,2,-2,3,-1],[1,(-3)/2,1/(-2),1,3/2,1/2P:=det(A-x*idn(6));B:=normal(P*inv(A-x*idn(6))); // preferer un appel a faddeev bien sur!ecriture(B,Q,q):={local j,k,l,n,C,D,E;C:=B;D:=B;E:=NULL;n:=coldim(B);for (j:=0;j
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Lisp). Certaines fonctions doivent
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6. Calculer la valeur de a := exp(
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Théorème 1 Soit P et Q deux polyn
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Page 101: définit de manière récursive les
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