Algorithmes de calcul formel - Free

trouver n tel que l’exponentielle précédente soit élémentaire et indépendantede la variable Z. Le théorème de structure de Risch implique que −nz −∫Ss /R r est combinaison linéaire à coefficients rationnels des logarithmeset des arguments des exponentielles de autres variables de la tour (jusqu’àz non compris). Ceci permet de déterminer n de manière unique (c’est lecoefficient rationnel de ∫ S s /R r en z).Si Z = ln(z) : exponentielle de logarithmeIci aussi, les N k peuvent ne pas être constants, on a :N ′ =n∑(N k ′ z ′Zk + kN kz Zk−1 )k=0Si N n n’est pas constant, le terme de plus haut degré de RN ′ est N ′ nR r Z n+r , si N nest constant, le terme de plus haut degré de RN ′ est R r (nN n z ′ /z+N ′ n−1 )Zr−1 quiest non nul (sinon z ′ /z = CN ′ n−1 et z = exp(CN n−1) serait une exponentielle).Le terme de plus haut degré de SN est N n S s Z n+s .– Si r < s ou si r = s sans simplifications, alors n = t − s.– Si r > s + 1 ou si r = s + 1 sans simplifications, alors deg(N ′ ) = t − rdonc n = t − r ou n = t − r + 1.– Si r = s + 1, et s’il y a simplifications, alors N n est constant et :R r (nN n z ′ /z + N ′ n−1) + S s N n = 0alors N n−1 = C(− ∫ N n S s /R r − nN n ln(z)) doit être élémentaire et indépendantede Z donc ∫ S s /R r est élémentaire, on détermine n en éliminantle coefficient de Z = ln(z) provenant de ∫ S s /R r .– Si r = s, et s’il y a simplification des termes de plus haut degré du membrede gauche, alors N ′ nR r + N n S s = 0 donc N n = exp(− ∫ S s /R r ) est élémentaireet indépendante de Z. On peut donc changer d’inconnue N =N n M sans changer le fait que M est un polynôme de même degré que N.On se ramène alors à une équation du même typeRM ′ + (S − R S sR r)M = T N nmais avec s diminué de 1 au moins.Réduction (algorithme SPDE de Rothstein)On observe d’abord que si R et S ont un facteur en commun, alors ce facteurdivise T car N ′ et N sont des polynômes en Z. On peut donc quitte à simplifierpar gcd(R, S) se ramener au cas où R et S sont premiers entre eux, il existe doncdeux polynômes U et V tels que :RU + SV = T, deg(V ) < deg(R) (22)En soustrayant (22) de (21), on montre que R divise N −V . Soit H = (N −V )/R.Alors N = RH + V doncR(RH ′ + R ′ H + V ′ ) + SRH + SV = T = RU + SVdonc après simplification par SV et division par R, H vérifie l’équation :RH ′ + (S + R ′ )H = U − V ′77