Reader - Studium Generale

komen dan Maxwell. Boltzmann verdeelt de energie van de moleculen in discrete intervallen en berekent
de verdeling van de moleculen over deze intervallen. Zoals Max Planck later toegaf, heeft deze methode
van Boltzmann hem geïnspireerd bij zijn invoering van de energie-quanta.
Boltzmann wijst erop dat Maxwell wel heeft aangetoond dat zijn snelheidsverdelingsfunctie van een gas
in evenwicht een stationaire toestand oplevert, en dus niet verandert onder invloed van botsingen, maar
niet dat de moleculen deze verdeling spontaan zullen aannemen vanuit om het even welke begintoestand
die daarvan afwijkt. Boltzmann levert nu zelf het bewijs dat de oplossing die Maxwell gevonden heeft de
enige is die een gas in evenwicht kan aannemen. Hij doet dit door het invoeren van een nieuwe
grootheid, die hij E noemde, maar later door een H werd aangeduid. Deze H is essentieel gelijk aan f.logf,
waar f de distributiefunctie is.
Boltzmann kan nu bewijzen dat de afgeleide van H naar de tijd nul is bij een gas in evenwicht (wanneer
de moleculen een maxwelliaanse verdeling hebben) en anders altijd negatief is: dH/dt < 0. H kan dus
alleen maar afnemen terwijl f naar de maxwelliaanse verdeling streeft, en blijft constant wanneer deze
verdeling (en dus de toestand van evenwicht) bereikt is. Dit het fameuze H-theorema van Boltzmann.
Het is duidelijk dat H zich exact zo gedraagt als de thermodynamische entropie, maar met tegengesteld
teken. Dit is een spectaculair resultaat: Boltzmann is erin geslaagd de tweede wet van de
thermodynamica af te leiden uit de kinetische theorie.
5.3.2. Loschmidts paradox
Maar er kwam meteen kritiek. In 1876 wees de Oostenrijkse natuurkundige (en goede vriend van
Boltzmann), Joseph Loschmidt, op een paradox. Als H alleen kan afnemen (of gelijk blijven) gedraagt de
tijd zich in deze theorie onomkeerbaar. Maar de wetten van de mechanica die de bewegingen van de
moleculen beschrijven, zijn omkeerbaar. Het volstaat alle snelheden van de moleculen van een gas om te
keren, en H die afnam, zou nu moeten toenemen. Waarom zou dit niet mogelijk zijn? Hoe kan het gedrag
van het hele systeem onomkeerbaar zijn als dat van de onderdelen omkeerbaar is?
Loschmidt had zelf een theorie bedacht waarin de moleculen niet om het even welke willekeurige
beweging kunnen beschrijven omdat de zwaartekracht altijd voor enige orde zorgt. De paradox die hij in
de theorie van Boltzmann aantrof, meende hij alvast als een bewijs te zien dat deze theorie niet geldig
kon zijn. Hij hoopte op die manier een uitweg uit de "verschrikkelijke tweede wet" te kunnen vinden.
Damit wäre auch der terroristische
Nimbus des zweiten Hauptsatzes
zerstört, welcher ihn als vernichtendes
Prinzip des gesamten Lebens des
Universums erscheinen lässt, und
zugleich würde die tröstliche
Perspektive eröffnet, dass das
Menschengeschlecht betreffs der
Umsetzung von Wärme in Arbeit nicht
einzig auf die Intervention der
Steinkohle oder der Sonne angewiesen ist, sondern für alle
Zeiten einen unerschöplichen Vorrat verwandelbarer Wärme
zur Verführung haben werde.
Daarmee zou de tweede hoofdwet ook
haar terroristisch aureool afgenomen
zijn, dat haar als het vernietigende
pincipe van al het leven in het heelal
laat verschijnen. Tegelijk zou zich het
troostende perspectief openen dat de
mensheid voor de omzetting van
warmte in arbeid niet uitsluitend op
steenkool en de zon aangewezen is,
maar dat zij voor de hele toekomst een
onuitputtelijke voorraad omzetbare
warmte tot haar beschikking heeft.
J. Loschmidt, Über den Zustand des Wärmegleichgewichtes von Körpern mit Rücksicht auf die Schwerkraft, Sitzungsber. kaiserl.
Akad. d. Wiss. 73 (1876) S. 128-142
William Thomson had eerder al (in een weinig opgemerkt artikel) een gelijkaardige opmerking gemaakt.
Elke oplossing moet een oplossing blijven wanneer we in de formules de tijd t vervangen door –t. (The
kinetic theory of the dissipation of energy, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 8, 325-334,
1874). Boltzmann moet dus een fout gemaakt hebben indien hij beweert dat H alleen kan afnemen.
Boltzmann antwoordt onmiddellijk op het bezwaar van Loschmidt (en Thomson). Hij merk op dat zijn
theorie op een waarschijnlijkheidsredenering berust, en daardoor ontstaat de asymmetrie in de tijd. Men
kan niet voorspellen dat de moleculen van een gas vanuit een gegeven begintoestand na een lange tijd
een toestand met een uniforme verdeling zullen bereiken. Men kan wel beweren en bewijzen dat er veel
Bodifee, Hoe wankel is de wereld? 2013 57