Reader - Studium Generale

espérer qu'un jour le télescope nous
montrera un monde en train de se réveiller et
où les lois de la thermodynamique seront
renversées.
Maxwell; het volstaat een beetje geduld te oefenen.
Hier zou men bij willen stilstaan en hopen dat op een
dag een telescoop ons een wereld kan tonen die bezig
is te ontwaken en waar de wetten van de
thermodynamica omgekeerd gelden.
Henri Poincaré, Le Mécanisme et l'Expérience, Revue de Métaphysique et de Morale, 4, 534, 1893
5.3.4. Zermelo's paradox
In 1896 voerde de Duitse wiskundige Ernst Zermelo ook een bezwaar aan tegen het H-theorema van
Boltzmann dat steunde op het recurrentie-theorema (Über einen Satz der Dynamik und die mechanische
Wärmetheorie, Wiedemann's Annalen, 57, 485-494, 1896).
Zermelo geeft zelf een kort bewijs van het recurrentie-theorema en voert dan aan dat het wegens dit
theorema onmogelijk is te bewijzen dat de snelheidsverdeling van Maxwell en Boltzmann een definitieve
en stationaire toestand van een systeem kan zijn. De bewijzen die gegeven werden zijn moeilijk en
moeten noodzakelijk fouten bevatten, besluit hij.
In zijn antwoord laat Boltzmann blijken dat hij zich niet begrepen voelt (Entgegnung auf die
wärmetheoretischen Betrachtungen des Hrn. E. Zermelo, Wiedemann's Annalen, 57, 773-784, 1896). Hij
wijst erop dat systemen die na een voldoende lange tijd in een evenwichtstoestand terechtkomen, een
overweldigende meerderheid vormen. Een recurrentie-tijd daarentegen duurt zo onvoorstelbaar lang
zodat die van geen praktische betekenis is. Boltzmann rekent uit dat voor een gas van 10 18 moleculen in
een volume van 1 cm 3 een tijd van 10 18 seconden of ongeveer 30 miljard jaar moet verstrijken vooraleer
de moleculen in een eerdere configuratie terugkeren. De recurrentie-tijd voor dit nog zeer beperkte
systeem bedraagt dus reeds ruim meer dan de leeftijd van het heelal (volgens huidige metingen).
Boltzmann besluit dat de terugkeer naar een oorspronkelijke toestand, waar Zermelo over spreekt, geen
enkele praktische betekenis heeft voor wie de berekeningen uitvoert.
In de verdere discussie tussen Zermelo en Boltzmann wijst deze laatste erop dat men de evolutie van het
heelal vanuit twee gezichtspunten kan bekijken. Alles hangt af van de schaal waarop men het heelal
beschouwt. Men kan aannemen dat het ons bekende deel van het heelal zich tegenwoordig in een zeer
onwaarschijnlijke toestand bevindt. Maar de omvang van dit deel van het geheel, en de duur van die
toestand, zijn uiterst klein in vergelijking met de afmetingen en de leeftijd van het heelal, dat zich als
geheel in evenwicht bevindt, zoals statistisch te verwachten. In een dergelijk afwijkend deel kan de
waarschijnlijkheid van de toestand zowel toenemen als afnemen, en al naargelang loopt de tijd in de ene
of in de andere richting. Vanuit het andere gezichtspunt beschouwt men het heelal in zijn geheel en op
die schaal heeft de tijd geen richting. Zoals voor het deel van het heelal dat we aarde noemen de ruimte
een 'boven' en een 'beneden' heeft, zo ook heeft hier de tijd een verleden en een toekomst. Tijd is de
beweging van een minder waarschijnlijke toestand (het verleden) naar een waarschijnlijker toestand (de
toekomst). Het heelal in zijn geheel ondergaat een dergelijke beweging niet, en kent dus geen tijd.
(Boltzmann, Zu Hrn. Zermelo Abhandlung über die mechanische Erklärungen irreversibler Vorgänge,
Wiedemann's Annalen, 60, 392-398, 1897).
In een ingezonden bijdrage aan het Britse tijdschrift Nature, vertelt Boltzmann dat hij de volgende
gedachte met zijn assistent, dr. Schütz, besproken heeft.
We assume that the whole Universe is, and
rests for ever, in thermal equilibrium. The
probability that one (and only one) part of the
Universe is in a certain state, is the smaller the
further that state is from thermal equilibrium;
but this probability is greater, the greater the
Universe itself is. If we assume the Universe
great enough we can make the probability of
one relatively small part being in a given state
(however far from the state of thermal
equilibrium), as great as we please. We can
also make the probability great that, though the
whole Universe is in thermal equilibrium, our
We nemen aan dat het heelal zich als geheel in
thermisch evenwicht bevindt en zo zal blijven. De
waarschijnlijkheid dat een deel (en slechts één deel)
van het heelal zich in een bepaalde toestand bevindt,
is des te kleiner naarmate die toestand verder van het
thermisch evenwicht verwijderd is, en des te groter
naarmate het heelal groter is. Indien we het heelal
groot genoeg veronderstellen kunnen we de
waarschijnlijkheid dat een betrekkelijk klein deel ervan
zich in een bepaalde toestand bevindt (hoe ver
verwijderd ook van thermisch evenwicht) zo groot
maken als we willen. Zo kunnen we ook de
waarschijnlijkheid groot maken dat, hoewel het hele
Bodifee, Hoe wankel is de wereld? 2013 59