format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

De la o problemă cu matrice la transformărielementareMarian TETIVA 11. Introducere. Problema la care ne referim în titlu este următoarea:Să searatecănuexistămatricepătratice X, Y ∈M n (C) astfel încât XY−YX=I n ,I n fiind matricea unitate de ordinul n.Este o problemă cunoscută, care poate fi întâlnită în mai multe manuale sauculegeri, care s-a dat la concursuri etc. şi nu este tocmai simplă: un elev mediu esteîntotdeauna descurajat de enunţuri de tipul "să searatecăexistă/nuexistă. . . ".Mai mult, în această situaţie nu prea avem altă caledeabordareînafaraceleicareutilizează noţiunea de urmă a unei matrice şi proprietăţile sale. Istoria problemeieste cam aşa: prin anii ’70 ai secolului trecut ea era propusă la olimpiadă, prin anii’80 a pătruns în manuale pentru ca în anii ’90 să ajungă a fi parte din diverse testede bacalaureat sau admitere la facultate; aceasta spune ceva despre felul în care auevoluat programele învăţământului matematic elementar în România. Noi credemcă elevul mediu din ziua de azi se află înacelaşi impas ca şi cel de acum douăzeci sautreizeci de ani (sau poate chiar mai rău) atunci când este confruntat cu asemeneaprobleme. De aceea această notă i se adresează, dar numai dacă estecuadevăratinteresat de matematică.Amintim că urma matricei A = (a ij ) 1≤i, j≤n∈ M n (C) este, prin definiţie,numărul Tr (A) =a 11 + a 22 + ··· + a nn (suma elementelor situate pe "diagonalaprincipală" a matricei). Sunt cunoscute următoarele proprietăţi ale urmei:1 ◦ Tr (A + B) =Tr(A)+Tr(B), ∀A, B ∈ M n (C),2 ◦ Tr (αA) =α Tr (A), ∀α ∈ C, ∀A ∈ M n (C),3 ◦ Tr (AB) =Tr(BA), ∀A, B ∈ M n (C).Primele două egalităţi se mai pot scrie condensat în forma Tr (αA + βB) == α Tr (A) +β Tr (B), oricare ar fi α, β ∈ C şi A, B ∈ M n (C) şi exprimă liniaritateaurmei: Tr : M n (C) → C este aplicaţie liniară (sau morfism de C -spaţiivectoriale). De aici deducem Tr (XY − YX)=Tr(XY ) − Tr (YX)=0pentru oriceX, Y ∈ M n (C) şi aceasta explică deceegalitateadinenunţ nu poate avea loc pentrunici o pereche de matrice X, Y : matricea XY − YX are urma nulă, deci nu poate fiegală cuI n ,acărei urmă esten.Remarcăm că matricea I n din enunţ poate fi înlocuită cuoricematricedeordinuln având urma nenulă, enunţul şi rezolvarea rămânând valabile; problema poate fiuşor reformulată astfel:Dacă pentru o matrice A ∈ M n (C) există X, Y ∈ M n (C) astfel încât A =XY − YX, atunci Tr (A) =0.Atunci se naşte în mod natural întrebarea dacă reciproca acestei afirmaţii esteadevărată, adică se pune problema valabilităţii următorului enunţ:Fie A o matrice pătratică deordinn cu elemente numere complexe. Dacă urmamatricei A este nulă, atunci există X, Y ∈ M n (C) astfel încât A = XY − YX.1 Profesor, Colegiul Naţional "Gh. Roşca Codreanu", Bârlad10