format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

arcsin x n+1 = arcsin x n, ∀n ∈ N, deci arcsin x n = arcsin x 033 n , ∀n ∈ N. Astfel avemlim x n = lim sin (arcsin x n)=0şin→∞ n→∞x nlimn→∞ 3n x n = limn→∞ (3n arcsin x n ) · =arcsinx 0 .arcsin x nClasa a XII-aXII.36. Să sedeterminen ∈ N, n ≥ 2 pentru care ecuaţia x 2 = x + b1 are soluţieunică înZ n ;rezolvaţi ecuaţia în acest caz.Andrei Nedelcu, IaşiSoluţie. Dacă ba ∈ Z n este soluţie a ecuaţiei x 2 = x + b1, atunci şi b1 − ba estesoluţie a acestei ecuaţii ((b1 − ba) 2 = b1 − c2a + ba 2 = b1 − c2a + ba + b1 =(b1 − ba)+1). Cumecuaţia trebuie să aibăsoluţie unică, este necesar să avemba = b1 − ba, sau \2a − 1=b0.Deoarece ba 2 = ba +1implică b4ba 2 = b4ba + b4, sau(c2a − b1) 2 = b5, rezultă că b5 =b0. Deaici, obţinem că n =5şi atunci ecuaţia dată aresoluţia unică ba = b3.XII.37. Fie (G, +) un subgrup al grupului (R, +). Să se determine morfismelecrescătoare de la (G, +) la (R, +).Dan Ştefan Marinescu şi Viorel Cornea, HunedoaraSoluţie. Dacă G = {0}, atunci f : G → R, f (0) = 0 este funcţia căutată.Dacă G 6= {0}, atunci există x 0 ∈ G \{0} şi atunci dacă notăm a = f (x 0),x 0observăm că a ≥ 0. Folosind definiţia morfismului de grupuri se poate demonstraprin inducţie că f (nx) =nf (x), ∀n ∈ Z, ∀x ∈ G. De aici, deducem că f (nx 0 )== nf (x 0 )=nax 0 , ∀n ∈ Z.Fie un element oarecare y ∈ G. Dacă x 0 > 0, avem succesiv:µ·n (y + x0 )fx 0¸·n (y + x0 )x 0≤ n (y + x 0)x 00, esteunmorfismcrescător de grupuri.XII.38. Determinaţi funcţiile derivabile f,g: R→R astfel încât f 0 (x) =g (x)+xşi g 0 (x) =f (x) − x, ∀x ∈ R.Gheorghe Iurea, Iaşi63