format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

adică Y = X. Săobservăm în final că, datorită simetriei în r A şi r C , acest punct seaflă şi pe mediana BB 2 .Probleme propuse1. Fie G A , G B , G C , G D centrele de greutete ale feţelor tetraedrului ABCD, iarM un punct interior tetraedrului. Dacă A 0 , B 0 , C 0 , D 0 sunt situate respectiv pesemidreptele (MG A , (MG B , (MG C , (MG D , în exteriorul tetraedrului, astfel încâtMG AG A A 0 = MG BG B B 0sunt concurente.= MG CG C C 0= MG DG D D 0 ,săsearatecădrepteleAA0 , BB 0 , CC 0 , DD 0Gabriel Popa, Paul Georgescu2. Fie ABC un triunghi înscris în cercul C, A 1 ,B 1 ,C 1 punctele de pe C diametralopuse vârfurilor, iar G A ,G B ,G C centreledegreutatealetriunghiurilorA 1 BC, B 1 CA,respectiv C 1 AB. Arătaţi cădrepteleAG A , BG B , CG C sunt concurente într-un punctsituat pe dreapta lui Euler a 4ABC.Gabriel Popa, Paul Georgescu3. Fie M în interiorul 4ABC. Bisectoarele interioare ale unghiurilor \BMC,\CMA, \AMB taie laturile [BC], [CA], respectiv [AB] în A 1 , B 1 ,respectivC 1 .Săsearate că AA 1 , BB 1 şi CC 1 sunt concurente.Gheorghe Neagu4. Fie D, E, F punctele de tangenţă ale cercului înscris în 4ABC cu laturile[BC], [CA], respectiv [AB]. Paralela prin E la AB taie FD în Q, iar paralela prinD la AB taie EF în T .SăsearatecădrepteleCF, DE şi TQ sunt concurente.Marcel Chiriţă5. Fie tetraedrul ABCD şi punctele M ∈ (AB), N ∈ (CD), P ∈ (BC), Q ∈ (AD)astfel încât AMMB = DNNC , BPPC = AQQD .Notăm {A 1} = BN ∩ DP, {B 1 } = AN ∩ CQ,{C 1 } = BQ ∩ DM, {D 1 } = AP ∩ CM. SăsearatecădrepteleAA 1 , BB 1 , CC 1 şiDD 1 sunt concurente.Bibliografie1. C. Cocea - Problema L.25, R. M. T. - 2/1990.2. C. Cocea - Problema X.8, R. M. T. - 1/1996.3. P. Georgescu, G. Popa - Structuri fundamentale în algebra liniară, geometria vectorialăşi geometria analitică, Ed. MatrixRom, Bucureşti, 2003.4. G. Popa -Aplicaţii ale dimensiunii dreptei vectoriale, planului vectorial şi a spaţiuluivectorial, Matematica pentru elevi, Galaţi, 17-18/2001.5. G. Popa, P. Georgescu - Dreapta lui Euler privită ca loc geometric, Recreaţii Matematice- 2/2002.6. E. Murgulescu, N. Donciu - Culegere de probleme de geometrie analitică şi diferenţială(vol. I), E. D. P., 1971.7. *** - A 46-a Olimpiadă de Matematică a Rep. Moldova, R. M. T - 3/2002.32
Teorema ariciului şi câteva aplicaţiiDumitru MIHALACHE 1În aceasta notă ne propunem să prezentăm un rezultat mai puţin vehiculat înliteratura matematică românească dinultimiiani,precumşi o aplicaţie oarecumneaşteptată asa;credemcă cititorii interesaţi vor găsi destule alte probleme caresă-l folosească. Vom prezenta teorema ariciului în mod gradat (denumirea estejustificată de aspectul configuraţiilor ce vor apărea); în plan mai întâi pentru triunghişi apoi pentru poligon oarecare, iar în spaţiu pentru tetraedru şi pe urmă pentruunpoliedru arbitrar, cu demonstraţii între care există analogii.Propoziţia 1. Fie ABC un triunghi şi i, j, k versoriperpendicularipedrepteleBC, CA, respectivAB, îndreptaţi spre exteriorul triunghiului. Cu notaţiile uzuale,are loc egalitatea ai + bj + c k = 0.Demonstaţia I. Notăm S = ai + bj + c k;avemcă S · ai = a 2 + abi ·j + aci · k.Deoarece unghiul dintre i şi j are măsura 180 ◦ − m( C), b obţinem că i ·j = − cos C şi,procedând la fel, analoagele. Folosind identitatea b cos C + c cos B = a, găsim căS · ai = a 2 − ab cos C − ac cos B = a (a − b cos C − c cos B) =0.Similar, S ·bj =0, prin urmare S este ortogonal pe doi vectori necoliniari, deci S = 0.Demonstraţia II. Construim, ca în figură,Freprezentanţi cu originea în A ai vectorilor bj şi c k,fie aceştia −→ AE, respectiv −→ AD; fie încă F al patruleaDvârf al paralelogramului construit pe aceşti vectori. Seobservă atuncică 4ABC ≡ 4EFA (L.U.L.), deciAF = BC = a şi [FAE ≡ \ACB. Deaici,m( \MAC)=c k= 180 ◦ − m( [CAE) − m( [EAF) = 90 ◦ − m(\ACB),EAadică m( \AMC) = 90 ◦ , unde {M} = AF ∩ BC.b jUrmează că −→ AF este ortogonal pe BC, are lungimeaa şi sens opus lui i, deci −→ AF = −ai. Pedealtăparte,−→AF = −→ AE + −→ AD = b j + c k, de unde concluzia.Să observăm că putem considera că teorema ariciuluia fost demonstrată cuprimametodă(saucualta,BM Cvom vedea că maiexistă); atunci relaţia ai + bj + c k = 0 conduce, având în vederefigura de mai sus, la −→ AF = −ai, i.e. AF ⊥ BC, AF = BC, plus o condiţie privindsensul. Prin urmare, putem afirma că, din punct de vedere logic, teorema ariciuluipentru triunghi este echivalentă cuurmătorul enunţ (pb. 45, pg.49 din [2]):Problema 1. Se consideră 4ABC pe ale cărui laturi [AB] şi [AC] se construiescîn exterior pătratele ABGD şi ACKE. Dacă O este mijlocul lui DE, atunciAO = BC/2 şi AO ⊥ BC.Altfel spus, mediana din A în 4ADE este înălţime în 4ABC; atenţie că şi invers!Şi încă unamănunt: nu trebuie ignorat cazul în care unul din unghiurile \ABC, \ACBeste drept sau obtuz.1 Profesor, Colegiul Naţional "Gh. Roşca Codreanu", Bârlad33
Page 1 and 2: Al V-lea Congres internaţionalal m
Page 3 and 4: Observatorul din Iaşi—90deanidel
Page 5 and 6: Marea teoremă a lui Fermat pentru
Page 7: şi, ca urmare, cel mai mare divizo
Page 10 and 11: De la o problemă cu matrice la tra
Page 12 and 13: T ij (a). Fie A =(a kl ) 1≤k,l≤
Page 14 and 15: are schimbate între ele elementele
Page 16 and 17: Trei perle ale olimpiadelor de mate
Page 18 and 19: Atunci este clar că (n, p − 1) =
Page 20 and 21: În legătură cuoproblemădeconcur
Page 22 and 23: Asupra unei probleme propuse la O.
Page 24 and 25: Asupra unei ecuaţii funcţionaleLo
Page 26 and 27: Pentru x = y =0,obţinem f (0) = 1
Page 28 and 29: Ca urmare, în condiţia impusă tr
Page 30 and 31: Intersecţia celor două drepteseob
Page 34 and 35: Propoziţia 2. Fie A 1 A 2 ...A n u
Page 36 and 37: Numărul polinoamelor ireductibile
Page 38 and 39: Funcţiile lui Smarandache — prop
Page 40 and 41: În legătură cuoproblemădearitme
Page 42 and 43: funcţii f care satisfac ipotezele
Page 44 and 45: Concurs de admitere 2003, IaşiFacu
Page 46 and 47: 2. Aflaţi numărul termenilor raţ
Page 48 and 49: anul în care ne aflăm mi-ar trebu
Page 50 and 51: că p 3 = p 2 +2şi p 4 = p 2 +4. S
Page 52 and 53: = 1 ·2n − 1+ 1 ¸(2n − 1) 2n·
Page 54 and 55: (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c
Page 56 and 57: Soluţie. Ecuaţia dată esteechiva
Page 58 and 59: Dacă facem notaţia log 2 b x = α
Page 60 and 61: ⎛⎞⎛⎞λ 1 0 ... 0m 11 m 12 .
Page 62 and 63: 1lentă cu − 1 ≤ y n+1 , ∀n
Page 64 and 65: Soluţie. Adunând cele două rela
Page 66 and 67: câte trei elemente din mulţime, o
Page 68 and 69: qOR =qd 2 − d 2 1 , OC = d 2 −
Page 70 and 71: comună interioară cercurilor C 1
Page 72 and 73: k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =3
Page 74 and 75: Probleme propuseClasele primareP.64
Page 76 and 77: VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţi
Page 78 and 79: XI.48. Se defineşte şirul (x n )
Page 80 and 81: A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrul
Page 82 and 83:
V.37; COHAL Călin: P(48,58,60,63),
Page 84:
POSTEUCĂ Bogdan(Şc. nr. 5, Braşo
show all

format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?