format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

şi, ca urmare, cel mai mare divizor comun al polinoamelor p şi p 0 are forma(p, p 0 )=β (X − a 1 ) m1−1 (X − a 2 ) m2−1 ···(X − a k ) mk−1 .Atuncideg (p, p 0 )=(m 1 − 1) + (m 2 − 1) + ···+(m k − 1) = deg p − n 0 (p) ,de unde obţinem relaţiadeg p =deg(p, p 0 )+n 0 (p) . (4)Teorema Mason - Stothers. Fie p, q, r ∈ C [X] neconstante şi relativ prime.Dacă are loc egalitatea p + q = r, atuncimax {deg p, deg q, deg r} ≤ n 0 (pqr) − 1. (5)Demonstraţie (datădeNoah Snyder [3], p.30). Vom începe cu douăobservaţiiutile. Mai întâi, în prezenţa condiţiei p+q = r, polinoamele p, q, r sunt relativ primedacă şi numai dacă sunt prime două câte două. Apoi, întrucât enunţul teoremei estesimetric în p, q, r (căci putem scrie egalitatea şi sub forma p + q + r = 0), nurestrângem generalitatea dacă vom presupune că polinomul r are gradul cel mairidicat. Ca urmare, inegalitatea de demonstrat se scriedeg r ≤ n 0 (pqr) − 1. (5 0 )Avemp 0 q − pq 0 = p 0 (p + q) − p (p 0 + q 0 )=p 0 r − pr 0 .Constatăm că (p, p 0 ) şi (q, q 0 ) divid membrul stâng, iar (r, r 0 ) divide membrul drept,deci şi pe cel stâng. Cum p, q, r sunt prime două câte două, urmează că produsul(p, p 0 ) · (q, q 0 ) · (r, r 0 ) divide p 0 q − pq 0 .Înconsecinţă,deg (p, p 0 )+deg(q, q 0 )+deg(r, r 0 ) ≤ deg (p 0 q − pq 0 ) ≤ deg p +degq − 1sau, datorită relaţiei (4) şi analoagelor ei,deg p − n 0 (p)+degq − n 0 (q)+degr − n 0 (r) ≤ deg p +degq − 1,decideg r ≤ n 0 (p)+n 0 (q)+n 0 (r) − 1.Cum p, q, r sunt prime două câte două, obţinem în finaldeg r ≤ n 0 (pqr) − 1,care este tocmai relaţia (5 0 ) de demonstrat.Demonstraţia Teoremei lui Fermat pentru polinoame. Presupunem căecuaţia (2) pentru n ≥ 3 ar avea o soluţie (x (X) ,y(X) ,z(X)) cu polinoame neconstanterelativ prime. Aplicăm teorema Mason - Stothers polinoamelor p(X) =[x(X)] n ,q (X) =[y (X)] n şi r (X) =[z (X)] n .Obţinemdeg [x (X)] n ≤ n 0 ([x (X)] n · [y (X)] n · [z (X)] n ) − 1saun deg x (X) ≤ n 0 (x (X) · y (X) · z (X)) − 1.7