format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Probleme pentru pregătirea concursurilorA. Nivel gimnazialG56. Fie m ∈ Z, n ∈ 2 Z +1fixate. Să searatecăecuaţia nx + y = m, x, y ∈ Zare o unică soluţie (x 0 ,y 0 ) cu proprietatea că |y 0 | < |n| /2.Petru Asaftei, IaşiG57. Un şeic a lăsat moştenire celor doi fii ai săi cinci cămile, cu condiţia caunul să primeascăjumătate, iar celălalt o treime. Moştenitorii nu şi-au putut împărţiaverea, aşa că auapelatlaunînţelept care trecea pe acolo, călare pe o cămilă. Cuma procedat înţeleptul?Câte probleme asemănătoare mai putem formula (în care moştenirea este de ncămile, iar fiii primesc a p-a şi a q-a parte)?Gabriel Popa, IaşiG58. Să serezolveînN 2 ecuaţia 2 x +1=5 y .Irina Mustaţă, elevă, şi Valentina Blendea, IaşiG59. Fie A = {n ∈ N ∗ | s (2000n)+s (2002n) =2s (2001n)}, unde prin s (x) amnotat suma cifrelor lui x. Demonstraţi că oricenumăr natural nenul are un multipluce aparţine lui A.Gabriel Dospinescu, student, BucureştiG60. Să se demonstreze că pentruoricea, b, c ∈ (0, ∞) are locab(a + b) 2 + bc(b + c) 2 + ca(c + a) 2 ≤ 1 4 + 4abc(a + b)(b + c)(c + a) .Gabriel Dospinescu, student, BucureştiG61. Să se demonstreze că pentruoricea, b, c ∈ (0, ∞) are locµ a+b+ b+cc a+ c+a 3≥54 √ p(a2 +b22 )(b 2 +c 2 )(c 2 +a 2 )≥27 (a+b)(b+c)(c+a) .babcabcMarian Tetiva, BârladG62. Fie ABCD un patrulater convex în care se poate înscrie pătratul MNPQde centru O (M ∈ (AB), N ∈ (BC), P ∈ (CD), Q ∈ (AD)). Să searatecăAB + BC + CD + DA ≥ √ 2(AO + BO + CO + DO). Când are loc egalitatea?Lucian Tuţescu, Craiova şi Ioan Şerdean, OrăştieG63. În 4ABC cu m( A) b = 10 ◦ şi m( B) b = 100 ◦ construim M ∈ (AB) şiN ∈ (AC) astfel ca m( \MCB)=40 ◦ şi m(\NBC)=75 ◦ .Săseaflem( \AMN).Octavian Bondoc, PiteştiG64. Prin punctul P al laturii (AC) a 4ABC se duc paralele la medianele AA 0şi CC 0 , care intersectează laturile (BC) şi (AB) în E, respectiv F . Fie {M} == EF ∩ AA 0 , {N} = EF ∩ CC 0 ,iarL şi Q mijloacele segmentelor [FP], respectiv[PE]. SăsearatecădrepteleML, NQ şi A 0 C 0 sunt concurente.Andrei Nedelcu, IaşiG65. Fie SABCD opiramidăcubazaABCD dreptunghi, M proiecţia lui Dpe SB şi N proiecţia lui C pe SA, iar{P } = AM ∩ NB. Ştiind că M ∈ (SB) şiN ∈ (SA), săsearatecă NP · SA · MB = SM · AN · PB.Daniel Ştefan Ninu, elev, Iaşi79