format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

În mod analog, găsim echivalenţa:B 1 C2 2 = C 1 B2 2 ⇔ 2k ¡ SB 2 − SC 2¢ = c 2 − b 2 . (3)În fine, din (2) şi (3) rezultă căSA 2 ¡ c 2 − b 2¢ + SB 2 ¡ a 2 − c 2¢ + SC 2 ¡ b 2 − a 2¢ =0. (4)Reciproc, relaţia (4) poate fi scrisă astfel:a 2 − b 22(SB 2 − SA 2 ) = c 2 − b 2 not2(SB 2 − SC 2 = k. (5))Alegem A 1 , B 1 , C 1 pe SA, SB, SC astfel încât să avemrelaţia (1). Înacestcazdin(5) rezultă că A 1 B 1 A 2 B 2 şi B 1 C 1 B 2 C 2 sunt trapeze isoscele, unde A 2 , B 2 şi C 2 suntmijloacele laturilor BC, AC şi AB (A 1 B 1 k AB k A 2 B 2 etc.). Dacă A 1 B 1 A 2 B 2 şiB 1 C 1 B 2 C 2 sunt trapeze isoscele înseamnă că A 1 A 2 = B 1 B 2 şi B 1 B 2 = C 1 C 2 , deciA 1 A 2 = C 1 C 2 ,adică şi A 1 C 1 A 2 C 2 este isoscel.B. Nivel licealL36. Fie 4ABC şi M triunghiul său median. Dacă P este un punct aflat îninteriorul sau pe laturile lui M, iarA 0 , B 0 , C 0 sunt intersecţiile dreptelor AP , BP,CP cu laturile BC, CA şi respectiv AB, atunci 1 4 < AP · BP · CPAA 0 · BB 0 · CC 0 ≤ 827 .Marian Ionescu, PiteştiSoluţie. Notăm S 1 = σ (PBC), S 2 = σ (PCA), S 3 = σ (PAB) şi S = σ (ABC).Se stabilesc cu uşurinţă relaţia APAA 0 = S 2 + S 3şi analoagele şi se deduce relaţia luiSAPGergonneAA 0 + BPBB 0 + CPCC 0 = 2. Cu inegalitatea mediilor obţinemrAP2 ≥ 3 3 AA 0 · BPBB 0 · CP , de unde deducem a doua parte a dublei inegalităţi dinCC0 enunţ. Pentru prima parte, observăm mai întâi că, dacă P se află îninteriorulsaupelaturile triunghiului M, au loc inegalităţile S 2 +S 3 ≥ S 1 , S 3 +S 1 ≥ S 2 şi S 1 +S 2 ≥ S 3 .Notând x = 1 2 (S 2 + S 3 − S 1 ), y = 1 2 (S 3 + S 1 − S 2 ), z = 1 2 (S 1 + S 2 − S 3 ),t = x + y + z şi observând că x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (numai unul poate fi nul),t>0, avem:APAA 0 · BPBB 0 · CPCC 0 = (S 2 + S 3 )(S 3 + S 1 )(S 1 + S 2 )S 3 =(t + x)(t + y)(t + z)=8t 3 > t3 + t 2 (x + y + z)8t 3 = 2t38t 3 = 1 4 .Notă. Soluţie corectă s-a primit de la Marius Pachiţariu, elev,Iaşi.Notă. Această problemăapareînarticolul"About elementary inequalities in triangle"(M. Dincă, M. Bencze) dinrevistaOctogon Math. Magazine, 9 (2001),no. 1B, p. 472. Aici nu se cere ca punctul P să fie în interiorul sau pe laturile triunghiuluiM, darsoluţia prezentată este incorectă.L37. Fie cercurile C 1 , C 2 şi C astfel încât C 1 şi C 2 sunt tangente exterior înD, iarcercurileC 1 şi C 2 sunt tangente interior lui C în B, respectivC. Tangenta69