format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

⎛⎞⎛⎞λ 1 0 ... 0m 11 m 12 ... m 1nFie D = ⎜ 0 λ 2 ... 0⎟⎝... ... ... ... ⎠ ,cuλ i 6= 0, i = 1,n, M = ⎜ 0 m 22 ... m 2n⎟⎝ ... ... ... ... ⎠ ,0 0 ... λ n 0 0 ... m nnm ii 6=0, i = 1,n şi M ij complementul algebric al lui m ij în matricea M. Notăm cud =detM 6= 0.Relaţia dată esteechivalentăcuDM −1 = t MD. Deoarece⎛⎞ ⎛⎞λ 1 0 ... 0 M 11 M 21 ... M n1DM −1 = 1 ⎜ 0 λ 2 ... 0⎟ ⎜ 0 M 22 ... M n2⎟d ⎝... ... ... ... ⎠ ⎝ ... ... ... ... ⎠ =0 0 ... λ n 0 0 ... M nn⎛⎞λ 1 M 11 λ 1 M 21 ... λ 1 M n1= 1 ⎜ 0 λ 2 M 22 ... λ 2 M n2⎟d ⎝ ... ... ... ... ⎠ şi0 0 ... λ n M nn⎛⎞ ⎛⎞m 11 0 ... 0 λ 1 0 ... 0t MD = ⎜m 12 m 22 ... 0⎟ ⎜ 0 λ 2 ... 0⎟⎝ ... ... ... ... ⎠ ⎝... ... ... ... ⎠ =m 1n m 2n ... m nn 0 0 ... λ n⎛⎞λ 1 m 11 0 ... 0= ⎜λ 1 m 12 λ 2 m 22 ... 0⎟⎝ ... ... ... ... ⎠λ 1 m 1n λ 2 m 2n ... λ n m nnrezultă că m ij =0, oricare ar fi i
µdet (A + t A)=P (1) = (det A)(1− α) 1 − 1 −2(α − 1)2· 2= det A.ααXI.38. Să se determine funcţiile continue f : [0, ∞) → [0, ∞) pentru caref (f (x)) + 2f (x) =3x, ∀x ≥ 0.Mihail Bencze, BraşovSoluţie.Fie f n (x) =f ◦ f ◦ ···◦ f (x), x ≥ 0, n ∈ N| {z }∗ . Pentru orice n ≥ 3n orişi x ≥ 0, avemcă f k (x) +2f k−1 (x) =3f k−2 (x), ∀k = 2,n, de unde prin sumarededucem că f n (x)+3f n−1 (x) =f 1 (x)+3x, ∀n ≥ 3, ∀x ≥ 0. De aici, obţinem:f 3 (x)+3f 2 (x) =f 1 (x)+3x,f 4 (x)+3f 3 (x) =f 1 (x)+3x,f 5 (x)+3f 4 (x) =f 1 (x)+3x,....................................f n (x)+3f n−1 (x) =f 1 (x)+3x, ∀n ≥ 3, ∀x ≥ 0.µMai departe, înmulţind prima ecuaţie cu −3 1 0 µ,adouacu − 1 1,atreiacu3µ− 1 2etc. şi apoi adunându-le, găsim relaţia3µÃ− 1 n−3 µf n (x)+3f 2 (x) =(f 1 (x)+3x)· 1+ −3 1 µ+ − 1 2 µ+ ···+ −3 3 1 ! n−33sauµÃ− 1 n−3f n (x)+9x − 6f (x) =3 3 µ4 (f 1 (x)+3x) · 1 − − 1 ! n−2, ∀n ≥ 3, ∀x ≥ 0.3(1)Din ipoteză rezultăcă f (x) ≤ 3x µ n 32 , ∀x ≥ 0, şi atunci f n (x) ≤ x, ∀n ∈ N ∗ ,2∀x ≥ 0. Deaici,obţinem că 0 ≤ f n (x)3 n ≤ x 2 n , ∀n ∈ N∗ , ∀x ≥ 0, adicăf n (x)limn→∞ 3 n =0, ∀x ≥ 0. (2)Din (1) şi (2), rezultă că 9x−6f (x) = 3 (f (x)+3x), ∀x ≥ 0, decif (x) =x, ∀x ≥ 0.4Observaţie. Nu este nevoie de continuitatea funcţiei f.µ nPXI.39. Fie şirul (y n ) n≥1astfel încât şirul y i este convergent. Dacăi=1 n≥1(x n ) n≥1⊂ R ∗ + are proprietatea că x n ≤ x n+1 (1 + x n y n+1 ), ∀n ≥ 1, arătaţi că şirulµ 1este convergent.x nn≥1Gheorghe Molea, Curtea de ArgeşSoluţie. Deoarece x n > 0, ∀n ≥ 1, rezultăcă inegalitatea din enunţ esteechiva-61
Page 1 and 2:
Al V-lea Congres internaţionalal m
Page 3 and 4:
Observatorul din Iaşi—90deanidel
Page 5 and 6:
Marea teoremă a lui Fermat pentru
Page 7:
şi, ca urmare, cel mai mare divizo
Page 10 and 11: De la o problemă cu matrice la tra
Page 12 and 13: T ij (a). Fie A =(a kl ) 1≤k,l≤
Page 14 and 15: are schimbate între ele elementele
Page 16 and 17: Trei perle ale olimpiadelor de mate
Page 18 and 19: Atunci este clar că (n, p − 1) =
Page 20 and 21: În legătură cuoproblemădeconcur
Page 22 and 23: Asupra unei probleme propuse la O.
Page 24 and 25: Asupra unei ecuaţii funcţionaleLo
Page 26 and 27: Pentru x = y =0,obţinem f (0) = 1
Page 28 and 29: Ca urmare, în condiţia impusă tr
Page 30 and 31: Intersecţia celor două drepteseob
Page 32 and 33: adică Y = X. Săobservăm în fina
Page 34 and 35: Propoziţia 2. Fie A 1 A 2 ...A n u
Page 36 and 37: Numărul polinoamelor ireductibile
Page 38 and 39: Funcţiile lui Smarandache — prop
Page 40 and 41: În legătură cuoproblemădearitme
Page 42 and 43: funcţii f care satisfac ipotezele
Page 44 and 45: Concurs de admitere 2003, IaşiFacu
Page 46 and 47: 2. Aflaţi numărul termenilor raţ
Page 48 and 49: anul în care ne aflăm mi-ar trebu
Page 50 and 51: că p 3 = p 2 +2şi p 4 = p 2 +4. S
Page 52 and 53: = 1 ·2n − 1+ 1 ¸(2n − 1) 2n·
Page 54 and 55: (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c
Page 56 and 57: Soluţie. Ecuaţia dată esteechiva
Page 58 and 59: Dacă facem notaţia log 2 b x = α
Page 62 and 63: 1lentă cu − 1 ≤ y n+1 , ∀n
Page 64 and 65: Soluţie. Adunând cele două rela
Page 66 and 67: câte trei elemente din mulţime, o
Page 68 and 69: qOR =qd 2 − d 2 1 , OC = d 2 −
Page 70 and 71: comună interioară cercurilor C 1
Page 72 and 73: k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =3
Page 74 and 75: Probleme propuseClasele primareP.64
Page 76 and 77: VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţi
Page 78 and 79: XI.48. Se defineşte şirul (x n )
Page 80 and 81: A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrul
Page 82 and 83: V.37; COHAL Călin: P(48,58,60,63),
Page 84: POSTEUCĂ Bogdan(Şc. nr. 5, Braşo
show all

format .pdf, 0.9 MB - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?