format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

În legătură cuoproblemădeconcursDan Ştefan MARINESCU 1La etapa finală a Olimpiadei de matematică din anul 1989 prof. univ. dr. T. Precupanua propus următoarea problemă:Z bDacă f :[a, b] → R este o funcţie integrabilă, continuă pe(a, b) şi f (x) dx 6= 0,aatunci pentru fiecare n ∈ N ∗ există n numere distincte x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ (a, b) astfelcaZ bn (b − a)f (x) dx =1af (x 1 ) + 1f (x 2 ) + ···+ 1 . (1)f (x n )Enunţul şi o soluţie a problemei pot fi aflate în [3].prezenta o generalizare a acestei frumoase probleme.Pentru ceea ce ne-am propus, avem nevoie de(enunţ parţial)În cele ce urmează vomPropoziţia 1. Fie f,g :[0, 1] → R două funcţii cu următoarele proprietăţi:i) f, g continue pe [0, 1],ii) f, g derivabile pe (0, 1),iii) f (1) 6= f (0) şi g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ (0, 1).Atunci pentru orice n ∈ N ∗ şi orice α 1 ,α 2 ,...,α n > 0 cu α 1 + α 2 + ···+ α n =1există x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ (0, 1) cu x 1 0, de unde acelaşi raţionament conduce la existenţa unui c 2 ∈ (c 1 , 1)astfel încât h 2 (c 2 )=0⇔ h (c 2 )=α 1 + α 2 . Inductiv, găsim 0