format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

IX.48. Fie a, b, c ∈ (0, ∞) cu a + b + c + √ abc =4.Săsearatecăa 2a + √ bc + b 2b + √ ca + c 2c + √ ab ≥ 3 2 .Cezar Lupu, elev, ConstanţaIX.49. Să searatecă 4ABC este isoscel în fiecare din ipotezele:a) 2m a + b =2m b + a; b) 2m a + a =2m b + b.Marius Pachiţariu, elev, IaşiIX.50. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ascuţitunghic ABC. Dacă A, B,C sunt măsurile în radiani ale unghiurilor triunghiului, iar A·−→ IA+B·−→ IB+C·−→ IC = −→ 0 ,să searatecă 4ABC este echilateral.Constantin Micu, Melineşti (Dolj)Clasa a X-aX.46. Să se determine a ∈ R astfel încât ecuaţia 2 x−1 +2 x2−1 = y2 + ay + a 2y 2 + a 2 săaibă soluţii în Z × Z.Petru Răducanu, IaşiX.47. Fie z 1 ,z 2 ,z 3 ∈ C distincte, cu z 2 +z 3 =2şi astfel încât |z 1 − 1| = |z 2 − 1| == |z 3 − 1|. Săsearatecă (z 1 − z 2 )(¯z 1 − ¯z 3 ) este număr complex pur imaginar.Lidia Nicola, CraiovaX.48. Se consideră planele paralele α şi β aflate la distanţa h unul de celălalt şi4ABC echilateral inclus în planul β.a) Să se afle locul geometric al punctelor M ∈ α pentru care MA 2 + h 2 == MB 2 + MC 2 .b) Să se determine M ∈ α astfel încât suma MA 2 + MB 2 + MC 2 săfieminimă.Viorel Cornea şi Dan Ştefan Marinescu, HunedoaraX.49. Să searatecă sin 3 x +sin 3 y +sin 3 z − 3sinx sin y sin z ≥≥ 3 [sin x (1 − cos (y − z)) + sin y (1 − cos (z − x)) + sin z (1 − cos (x − y))] ,4∀x, y, z ∈ [0,π/3].Marian Tetiva, BârladX.50. Fie a k ,b k ,c k ∈ N, k ∈ 1,n;notăm cu f (p) numărul tripletelor (A, B, C)de submulţimi (nu neapărat nevide)Pcu reuniunea M = {1, 2,...,n}, oricare douădisjuncte şi astfel încât numărul a i +P b i +P c i − p să fie multiplui∈M\Ai∈M\Bi∈M\Cde 3 (convenim ca P i∈∅x i =0). Arătaţi că dacă f (0) = f (1) = f (2), atunci există ipentru care a i + b i + c i . 3.Gabriel Dospinescu, student, BucureştiClasa a XI-aXI.46. Determinaţi A, B ∈M n (Z) pentru care det (A + B) =2şi det (A +3B) =5.Cezar Lupu, elev, Constanţa½ a,dacă i = jXI.47. Fie A ∈ M n (R) matrice cu a ij =b, dacă i 6= j ,undeb 6= 0şi a /∈ Z.bArătaţi că A este inversabilă şi determinaţi A −1 .Gheorghe Iurea, Iaşi77