format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Concurs de admitere 2003, IaşiFacultatea de Informatică, Universitatea "Al. I. Cuza"AlgebrăI. 1. Se dă matricea A ∈ M 3 (R), ⎛ undeM 3 (R) este inelul matricelor pătraticede ordin 3 cu elemente reale, A = ⎝ 0 0 1 ⎞1 0 0⎠. Săsearatecă A 3 = I 3 şi că areloc0 1 0relaţia (A − I 3 ) ¡ ¢A 2 + A + I 3 =0.2. Fie σ ∈ S 3 o permutare din grupul simetric de grad 3, astfelîncâtσ 2 = e(e notează permutareaidentică). Demonstraţi că există k ∈ {1, 2, 3} astfel încâtσ (k) =k.3. Demonstraţi că polinomul P = X 3 + 1 X +1este ireductibil în Q [X].2II. 1. Fie G un grup cu n elemente, n ∈ N ∗ .Arătaţi că în orice coloană atableioperaţiei lui G apar n elemente distincte.2. Fie (Z, +, ·) inelul numerelor întregi. Determinaţi toate morfismele de inelef : Z → Z.3. Fie (C, +, ·) corpul numerelor complexe. Să searatecă f : C → C definită prinf (z) =z este izomorfism de corpuri (z notează conjugatul numărului complex z).Analiză matematicăI. 1. Fie H n =1+ 1 2 + 1 3 + ···+ 1 n , n ∈ N∗ .Demonstraţi că şirul (H n ) n∈N ∗ estenemărginit.2. Fie f : R → R o funcţie continuă şi mărginită. Demonstraţi că există x 0 ∈ Rastfel încât f (x 0 )=x 0 .3. Fie f : R \{−1} → R, f (x) = 1x +1 . Săsecalculezef (n) (0), unde n ∈ N ∗ ,iar f (n) notează derivatadeordinn a funcţiei f.II. Pentru n ∈ N ∗ considerăm f n : R → R, f n (x) =x n + x n−1 + ···+ x − 1.a) Reprezentaţi grafic funcţia g : D → R, g (x) = f 3 (x) − f 2 (x),undeD estef 1 (x)domeniul maxim de definiţie al funcţiei g.b) Arătaţi că pentru orice n ∈ N ∗ ,ecuaţia f n (x) =0are o unică soluţie reală,u n ,înintervalul[0, 1].c) Demonstraţi că şirul (u n ) n∈N ∗ este convergent.d) Să se determine lim u n.n→∞Fac. de Electronică şi Telecomunicaţii, Univ. Tehnică"Gh.Asachi"µ√ a1. Rangul termenului din dezvoltarea3 + 3√ 3 13care îl conţine pe a 4 esteaa) 8 b) 6 c) 3 d) 4 e) 9P2. Suma n ¡2 k +3 k¢ /6 k este egală cuk=1a) 1− 12 n − 13 n b)2− 12 n+1 − 13 n+1 c) 3 2 + 12 n + 12 · 3 n d) 12 n + 13 ne) 3 2 − 12 n − 12 · 3 n 44