Soluţie. Adunând cele două relaţii date, obţinem (f + g) 0 (x) = (f + g)(x),∀x ∈ R, sau(e −x (f + g)) 0 (x) =0, de unde găsim f (x)+g (x) =Ce x , ∀x ∈ R, undeC ∈ R este o constantă arbitrară. Revenind la prima ecuaţie, avemf 0 (x) =Ce x + x − f (x) , ∀x ∈ R,sau (e x f (x)) 0 = Ce 2x + xe x ,∀x ∈ R, decif (x) = C 2 ex + k 1 e −x + x − 1, ∀x ∈ R.Analog, obţinem g (x) = C 2 ex − k 2 e x − x +1, ∀x ∈ R. Se verifică uşor că acestefuncţii satisfac sistemul de ecuaţii dat.XII.39. Fie f,g :(0, ∞) → R astfel încât lim f (x) = lim g (x) =∞, iarx→∞ x→∞Zf (x)1lim = β ∈ R. Să secalculezex→∞ g (x) lim f (n) x g(n)dx, unde α ∈ [1, ∞).n→∞0 x + αAdrian Sandovici, Piatra NeamţSoluţie. Din ipoteză rezultă căexistă n 0 astfel încât f (n) > 0 şi g (n) > 0,∀n ≥ n 0 .Pentrun ≥ n 0 ,avem:Z 1I n = f (n)0"= f (n)g (n)x g(n) dxx + α= f (n)g (n)x g(n)+1 1 Z 1x + α ¯ − α00Z 10³x g(n)´0#x g(n)(x + α) 2 dx .xx + α dx =DeoareceZ 1x g(n) Zdx 10 ≤0 (x + α) 2 ≤ x g(n) 1dx =0g (n)+1Z 1x g(n) dxşi lim g (n) =∞, rezultăcă limn→∞ n→∞2=0.Aşadar, avem lim0 (x + α) I n =βn→∞ 1+α .XII.40. Fie f :[0, 1] → R ofuncţie derivabilă cuderivatacontinuăastfelîncâtxf 0 f (x)(x) ≥ f (x), ∀x ∈ [0, 1], iar lim există şi este finită. Să searatecăx→0 xx>0 µ Z 1 Z 1f (x)f (1) ≥ min 2 f (x) dx,00 x dx .MarcelZChiriţă, Bucureşti1Z 1Soluţie. Din xf 0 (x) ≥ f (x), ∀x ∈ [0, 1] rezultă că xf 0 (x) dx ≥ f (x) dx,Z001 Z 1Z 1sau xf (x)| 1 0 − f (x) dx ≥ f (x) dx, decif (1) ≥ 2 f (x) dx (1).000f (x)Deoarece lim există şi este finită, rezultă că lim f (x) =0.Astfel,avemx&0 xx&0Z 10f (x)xdx =limε&0Z 1εf (x)xdx ≤ limε&0Z 1εf 0 (x) dx = limε&0(f (1) − f (ε)) = f (1) ,ceea ce, împreună curelaţia (1), conduce la inegalitatea din enunţ.64
Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilordinnr. 1/2003A. Nivel gimnazialG36. Fie x, n ∈ N ∗ astfel încât x divide 10 n − 1, însă x nu divide 10 k − 1 pentruk
- Page 1 and 2:
Al V-lea Congres internaţionalal m
- Page 3 and 4:
Observatorul din Iaşi—90deanidel
- Page 5 and 6:
Marea teoremă a lui Fermat pentru
- Page 7:
şi, ca urmare, cel mai mare divizo
- Page 10 and 11:
De la o problemă cu matrice la tra
- Page 12 and 13:
T ij (a). Fie A =(a kl ) 1≤k,l≤
- Page 14 and 15: are schimbate între ele elementele
- Page 16 and 17: Trei perle ale olimpiadelor de mate
- Page 18 and 19: Atunci este clar că (n, p − 1) =
- Page 20 and 21: În legătură cuoproblemădeconcur
- Page 22 and 23: Asupra unei probleme propuse la O.
- Page 24 and 25: Asupra unei ecuaţii funcţionaleLo
- Page 26 and 27: Pentru x = y =0,obţinem f (0) = 1
- Page 28 and 29: Ca urmare, în condiţia impusă tr
- Page 30 and 31: Intersecţia celor două drepteseob
- Page 32 and 33: adică Y = X. Săobservăm în fina
- Page 34 and 35: Propoziţia 2. Fie A 1 A 2 ...A n u
- Page 36 and 37: Numărul polinoamelor ireductibile
- Page 38 and 39: Funcţiile lui Smarandache — prop
- Page 40 and 41: În legătură cuoproblemădearitme
- Page 42 and 43: funcţii f care satisfac ipotezele
- Page 44 and 45: Concurs de admitere 2003, IaşiFacu
- Page 46 and 47: 2. Aflaţi numărul termenilor raţ
- Page 48 and 49: anul în care ne aflăm mi-ar trebu
- Page 50 and 51: că p 3 = p 2 +2şi p 4 = p 2 +4. S
- Page 52 and 53: = 1 ·2n − 1+ 1 ¸(2n − 1) 2n·
- Page 54 and 55: (a + b + c) 3 − ¡ a 3 + b 3 + c
- Page 56 and 57: Soluţie. Ecuaţia dată esteechiva
- Page 58 and 59: Dacă facem notaţia log 2 b x = α
- Page 60 and 61: ⎛⎞⎛⎞λ 1 0 ... 0m 11 m 12 .
- Page 62 and 63: 1lentă cu − 1 ≤ y n+1 , ∀n
- Page 66 and 67: câte trei elemente din mulţime, o
- Page 68 and 69: qOR =qd 2 − d 2 1 , OC = d 2 −
- Page 70 and 71: comună interioară cercurilor C 1
- Page 72 and 73: k n .Avemk 1 + k 2 + ···+ k n =3
- Page 74 and 75: Probleme propuseClasele primareP.64
- Page 76 and 77: VII.47. Să serezolveînZ 2 ecuaţi
- Page 78 and 79: XI.48. Se defineşte şirul (x n )
- Page 80 and 81: A. Nivel licealL56. Fie ABCD patrul
- Page 82 and 83: V.37; COHAL Călin: P(48,58,60,63),
- Page 84: POSTEUCĂ Bogdan(Şc. nr. 5, Braşo
Change language