format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

µdet (A + t A)=P (1) = (det A)(1− α) 1 − 1 −2(α − 1)2· 2= det A.ααXI.38. Să se determine funcţiile continue f : [0, ∞) → [0, ∞) pentru caref (f (x)) + 2f (x) =3x, ∀x ≥ 0.Mihail Bencze, BraşovSoluţie.Fie f n (x) =f ◦ f ◦ ···◦ f (x), x ≥ 0, n ∈ N| {z }∗ . Pentru orice n ≥ 3n orişi x ≥ 0, avemcă f k (x) +2f k−1 (x) =3f k−2 (x), ∀k = 2,n, de unde prin sumarededucem că f n (x)+3f n−1 (x) =f 1 (x)+3x, ∀n ≥ 3, ∀x ≥ 0. De aici, obţinem:f 3 (x)+3f 2 (x) =f 1 (x)+3x,f 4 (x)+3f 3 (x) =f 1 (x)+3x,f 5 (x)+3f 4 (x) =f 1 (x)+3x,....................................f n (x)+3f n−1 (x) =f 1 (x)+3x, ∀n ≥ 3, ∀x ≥ 0.µMai departe, înmulţind prima ecuaţie cu −3 1 0 µ,adouacu − 1 1,atreiacu3µ− 1 2etc. şi apoi adunându-le, găsim relaţia3µÃ− 1 n−3 µf n (x)+3f 2 (x) =(f 1 (x)+3x)· 1+ −3 1 µ+ − 1 2 µ+ ···+ −3 3 1 ! n−33sauµÃ− 1 n−3f n (x)+9x − 6f (x) =3 3 µ4 (f 1 (x)+3x) · 1 − − 1 ! n−2, ∀n ≥ 3, ∀x ≥ 0.3(1)Din ipoteză rezultăcă f (x) ≤ 3x µ n 32 , ∀x ≥ 0, şi atunci f n (x) ≤ x, ∀n ∈ N ∗ ,2∀x ≥ 0. Deaici,obţinem că 0 ≤ f n (x)3 n ≤ x 2 n , ∀n ∈ N∗ , ∀x ≥ 0, adicăf n (x)limn→∞ 3 n =0, ∀x ≥ 0. (2)Din (1) şi (2), rezultă că 9x−6f (x) = 3 (f (x)+3x), ∀x ≥ 0, decif (x) =x, ∀x ≥ 0.4Observaţie. Nu este nevoie de continuitatea funcţiei f.µ nPXI.39. Fie şirul (y n ) n≥1astfel încât şirul y i este convergent. Dacăi=1 n≥1(x n ) n≥1⊂ R ∗ + are proprietatea că x n ≤ x n+1 (1 + x n y n+1 ), ∀n ≥ 1, arătaţi că şirulµ 1este convergent.x nn≥1Gheorghe Molea, Curtea de ArgeşSoluţie. Deoarece x n > 0, ∀n ≥ 1, rezultăcă inegalitatea din enunţ esteechiva-61