format .pdf, 0.9 MB - Recreaţii Matematice

Numărul polinoamelor ireductibile din Z p [X]Elena ROGOJINĂ 1 , Lucian-Georges LĂDUNCĂ 2Problema 3 propusă la Berkeley Preliminary Exams, Fall 1985, cere determinareanumărului polinoamelor ireductibile de grad 3 şi coeficientul dominant b1 din Z 5 [X]([2], p. 230). Mai general, Problema 150 din G. M. (seria A), nr. 1/2003, cere determinareanumărului polinoamelor ireductibile de grad 3 din Z p [X], p prim (GabrielPopa, [3]).În nota de faţă vomurmări rezolvarea acestor probleme şi vom arăta cumpoate fi aflat numărul polinoamelor ireductibile de grad n din Z p [X], p prim.nPSă observăm mai întâi că polinomul a k X k este ireductibil peste Z p dacă şinumai dacă polinomul X k + n−1 Pk=0a −1nk=0a k X k este ireductibil (unde evident că a n 6= b0este inversabil peste corpul Z p ); este deci suficient să găsim numărul polinoamelornormate (monice) ireductibile, prin înmulţirea acestui număr cu p−1 aflând răspunsulla problemă.Numărul polinoamelor de forma f = X 3 + aX 2 + bX + c, a, b, c ∈ Z p ,estep 3 .Ca în [2], să vedem întâi câte dintre aceste polinoame sunt reductibile. Polinoamelereductibile din Z p suntfiedeformaf =(X − i)(X − j)(X − k), i, j, k ∈ Z p ,fiedeforma f =(X − i) ¡ X 2 + mX + n ¢ , i, m, n ∈ Z p şi X 2 + mX + n ireductibil pesteZ p . Primadificultatecaretrebuiedepăşită în trecerea de la p =5la cazul generaleste numărarea polinoamelor de primul tip: observăm că numărul lor este egal cunumărul tipurilor de cuvinte de lungime 3 formate cu elementele mulţimii Z p ,careeste dat de numărul combinărilor cu repetiţieCp 3 = Cp+2 3 p (p +1)(p +2)= .6Aflăm acum câte polinoame normate ireductibile de grad 2 peste Z p există. Dacăp =2,înZ 2 [X] există patru polinoame de grad 2, dintre care singurul ireductibil esteX 2 + X + b1. Fiep ≥ 3 prim; în Z p [X] există p 2 polinoame de forma X 2 + mX + n,dintre care sunt reductibile cele pentru care ∆ = m 2 − b4n este pătratul unui elementa ∈ Z p .Numărul acestor "pătrate perfecte" este p +1 .Într-adevăr (v., de exemplu,2[2], Problema 12, Spring 1977), Q (p) ={b0}∪{x ∈ Z ∗ p | x = a 2 ,a∈ Z ∗ p} = {b0}∪Im f,unde f : Z ∗ p → Z ∗ p, f (a) =a 2 este morfism de grupuri. Deoarece p ≥ 3, ecuaţia a 2 = b1are exact două soluţii, b1 şi [p − 1, deciKer f = {b1, [p − 1} şi cum Im f ∼ = Z ∗ p/ Ker f,atunci Card (Im f) = p − 1− 1, prin urmare Card Q (p) =p +1= p +12 22 .Numărulperechilor (m, n) ∈ Z 2 p (p +1)p pentru care ∆ este "pătrat perfect" este (pentru2fiecare valoare dată luim, n ia p +1 valori, dat fiind faptul că b4 este inversabil în21 Studentă, Universitatea "Ovidius", Constanţa2 Profesor, Liceul de Informatică "Gr.C.Moisil", Iaşi36